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Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 00:11 29 nov 2006

A continuacion vamos a ver un procedimiento que nos permita calcular determinantes de cualquier orden.

Para una matriz cuadrada de orden   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   se llama menor complementario del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
\alpha_{ij},
  al determinante de la matriz cuadrada de orden   
n - 1
  que resulta de suprimir la fila   
i
  y la columna   
j
  de la matriz   
A
Ejemplo:

Los menores complementarios de la matriz



A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\\
& & 
\\
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}



\begin{array}[c]{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}




Para una matriz cuadrada de orden   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   se llama adjunto del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
A_{ij},
  al producto 
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
, es decir:



A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   
A
  se llama matriz adjunta de   
A
  y se denota por   
\makebox{Adj} \left( A \right)
  Ejemplo:

Los adjuntos de la matriz   
A
  del ejemplo anterior son:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


La matriz adjunta de   
A
  es



\makebox{Adj} \left( A \right) =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-3 & ~~~6 & -3
\\
~~6 & -12 & ~~6
\\
-3 & ~~~6 & -3
\end{array}
\right)


El determinante de una matriz cuadrada de orden   
n
  es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:



\makebox{det} \left( \, A \, \right) = a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}



\makebox{det} \left( \, A \, \right) = a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


   
 
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