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Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

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(Ejercicios resueltos)
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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
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cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
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cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''' y '''''adjunto'''''.
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==Menor complementario==
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==Menores complementarios y adjuntos==
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Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
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En una matriz cuadrada de orden &nbsp;
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n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
</math>
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&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
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de la matriz &nbsp;
de la matriz &nbsp;
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A
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\mathbf{A}
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Se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
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a_{ij}
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&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
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A_{ij},
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&nbsp; al producto &nbsp;
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\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 +
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A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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A =
+
\mathbf{A} =
\left(
\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
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y sus adjuntos son:
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==Matriz adjunta==
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Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
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n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
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&nbsp; se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
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a_{ij},
+
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&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
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A_{ij},
+
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-
&nbsp; al producto &nbsp;
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\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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</math>, &nbsp; es decir:
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A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
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A
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&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
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A
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&nbsp; y se denota por &nbsp;
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\makebox{Adj} \left( A \right)
+
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===Ejemplo===
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Los adjuntos de la matriz &nbsp;
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A
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&nbsp; del ejemplo anterior son:
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La matriz adjunta de &nbsp;
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==Desarrollo de un determinante==
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A
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+
 
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&nbsp; es
+
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
 +
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
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Línea 255: Línea 220:
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<math>
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-
\makebox{Adj} \left( A \right) =
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
-
\left(
+
</math>
-
\begin{array}{ccc}
+
</center>
-
-3 & ~~~6 & -3
+
<center>
-
\\
+
<math>
-
~~6 & -12 & ~~6
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
-
\\
+
-
-3 & ~~~6 & -3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
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Línea 270: Línea 231:
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==Desarrollo de un determinante==
 
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El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
 
-
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
 
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<math>
 
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
 
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</math>
 
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</center>
 
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<center>
 
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\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
 
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</math>
 
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</center>
 
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==Ejercicios resueltos==
 
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[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=45 Calcular un determinante 4x4]
 
-
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-
<br>
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario y adjunto.


Menores complementarios y adjuntos


En una matriz cuadrada de orden   
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
  se llama menor complementario del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
\alpha_{ij},
  al determinante de la matriz cuadrada de orden   
n - 1
  que resulta de suprimir la fila   
i
  y la columna   
j
  de la matriz   
\mathbf{A}


Se llama adjunto del elemento   
a_{ij}
,   y lo representamos por   
A_{ij},
  al producto   
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
:



A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\\
& & 
\\
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}



\begin{array}[c]{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


y sus adjuntos son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
\\
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
\\
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
&\end{array}


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden    n   es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:



\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}


\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


   
 
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