Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:36 15 feb 2011) (editar) (deshacer)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 200.118.90.180 (Talk); a la última edición de Laura.2mdc)
 
(49 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
A continuacion vamos a ver un procedimiento que nos permita calcular determinantes de
+
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
-
cualquier orden.
+
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''' y '''''adjunto'''''.
-
Para una matriz cuadrada de orden  
+
<br/>
 +
 
 +
==Menores complementarios y adjuntos==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En una matriz cuadrada de orden &nbsp;
<math>
<math>
-
n, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama menor complementario del elemento &nbsp;
+
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
<math>
<math>
a_{ij},
a_{ij},
Línea 29: Línea 35:
de la matriz &nbsp;
de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
<br/>
<br/>
-
====Ejemplo:====
+
Se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>,
 +
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
 +
<math>
 +
A_{ij},
 +
</math>
 +
&nbsp; al producto &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 +
</math>:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo===
<br/>
<br/>
Línea 44: Línea 73:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A} =
\left(
\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 162: Línea 191:
<br/>
<br/>
-
----
+
y sus adjuntos son:
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se llama adjunto del elemento &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ij},
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_{ij},
+
-
</math>
+
-
&nbsp; al producto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
+
-
</math>, &nbsp; es decir:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
+
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se llama matriz adjunta de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y se denota por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\makebox{Adj} \left( A \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
====Ejemplo:====
+
-
 
+
-
Los adjuntos de la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; del ejemplo anterior son:
+
<br/>
<br/>
Línea 233: Línea 209:
<br/>
<br/>
-
La matriz adjunta de &nbsp;
+
==Desarrollo de un determinante==
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
-
<math>
+
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
-
\makebox{Adj} \left( A \right) =
+
-
\left(
+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
-3 & ~~~6 & -3
+
-
\\
+
-
~~6 & -12 & ~~6
+
-
\\
+
-
-3 & ~~~6 & -3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera
+
-
por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
+
<br/>
<br/>
Línea 270: Línea 220:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) = a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) = a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
 +
 +
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario y adjunto.


Menores complementarios y adjuntos


En una matriz cuadrada de orden   
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
  se llama menor complementario del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
\alpha_{ij},
  al determinante de la matriz cuadrada de orden   
n - 1
  que resulta de suprimir la fila   
i
  y la columna   
j
  de la matriz   
\mathbf{A}


Se llama adjunto del elemento   
a_{ij}
,   y lo representamos por   
A_{ij},
  al producto   
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
:



A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\\
& & 
\\
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}



\begin{array}[c]{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


y sus adjuntos son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
\\
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
\\
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
&\end{array}


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden    n   es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:



\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}


\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.