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Dependencia e independencia lineal

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Tabla de contenidos

Combinación lineal


Una combinación lineal de los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1 \, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
,   es una suma de la forma:



\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n


siendo los coeficientes   
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n
  numeros reales.


Ejemplo


Dados los vectores   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
, una combinación lineal de ellos es el vector   
3\vec{\mathbf{u}} \, + \, 2\vec{\mathbf{v}}


Independencia lineal


Los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
  son linealmente independientes si:



\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0


Ejemplo


Los vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
  son linealmente independientes, pues:



\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow 

\left(
</p>
<pre> \, \alpha, \, 0, \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, \beta, \, 0 \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, \gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, \alpha, \, \beta, \, \alpha \, + \, \gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,



\, = \, 
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\, \Rightarrow \, \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0




Los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
  son linealmente dependientes si existen numeros reales   
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots \, , \, \alpha_n
  no todos nulos tales que:



\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0


Texto en cursivahjkjhkhjjhTítulo del enlacegkInserte aquí texto sin formatoh===Ejemplo===


Los vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, -1, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 1, \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
  son linealmente dependientes, pues:



\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow



\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)


Igualando componentes:



\left.
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \alpha\, - \, \beta \, + \, \gamma & = & 0
   \\
   \beta \, + \, \gamma & = & 0
   \\
   \alpha \, + \, 2\gamma & = & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}
</p>
<pre>\, \Rightarrow \beta \, = \, -\gamma, \, \alpha \, = \, -2\gamma
</pre>
<p>


Para cualquier valor que tome   
\gamma \neq 0
  se obtiene un valor para   
\beta
  y otro para   
\alpha
  tambien distintos de cero, luego   
\vec{\mathbf{u}}
,   
\vec{\mathbf{v}}
  y   
\vec{\mathbf{w}}
  son linealmente dependientes.




En   
R^2
, dos vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, u_1, \, u_2 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, v_1, \, v_2 \,
</pre>
<p>\right)
  son:


        linealmente independientes si:        

        linealmente dependientes si:        

Imagen:determinante.gif

Imagen:determinante2.gif


En   
R^3
, tres vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, u_1, \, u_2, \, u_3 \, 
</pre>
<p>\right)
,   
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, v_1, \, v_2, \, v_3 \, 
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, w_1, \, w_2, \, w_3 \, 
</pre>
<p>\right)
  son:


        linealmente independientes si:

        linealmente dependientes si:

        Imagen:determinante3.gif        

        Imagen:determinante4.gif        


   
 
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