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Dependencia e independencia lineal

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 9: Línea 9:
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-
\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
+
\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n
-
\alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n
+
</math>
</math>
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Línea 57: Línea 56:
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-
\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \, \ldots \, + \,
+
\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0
\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0
Línea 94: Línea 93:
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<math>
<math>
-
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \, \ldots \, + \,
+
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
</math>
</math>
Línea 147: Línea 146:
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<math>
<math>
-
\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
+
\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0
</math>
</math>
Línea 183: Línea 182:
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<center>
<math>
<math>
-
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \, \ldots \, + \,
+
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
</math>
</math>
Línea 191: Línea 190:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, \alpha\, - \,\beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \,
+
\, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \,
\right)
\right)
\, = \,
\, = \,
Línea 362: Línea 361:
</table>
</table>
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 02:23 17 dic 2006

Una combinación lineal de los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1 \, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
,   es una suma de la forma:



\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n


siendo los coeficientes   
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n
  numeros reales.


Ejemplo:


Dados los vectores   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
, una combinación lineal de ellos es el vector   
3\vec{\mathbf{u}} \, + \, 2\vec{\mathbf{v}}




Los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
  son linealmente independientes si:



\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0


Ejemplo:


Los vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
  son linealmente independientes, pues:



\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow 

\left(
</p>
<pre> \, \alpha, \, 0, \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, \beta, \, 0 \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, \gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, \alpha, \, \beta, \, \alpha \, + \, \gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,



\, = \, 
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\, \Rightarrow \, \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0




Los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
  son linealmente independientes si existen escalares   
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots \, , \, \alpha_n
  no todos nulos tales que:



\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0


Ejemplo:


Los vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, -1, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 1, \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
  son linealmente dependientes, pues:



\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow



\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, \Rightarrow
</pre>
<p>\alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0


Igualando componentes:



\left.
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \alpha\, - \, \beta \, + \, \gamma & = & 0
   \\
   \beta \, + \, \gamma & = & 0
   \\
   \alpha \, + \, 2\gamma & = & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}
</p>
<pre>\, \Rightarrow \beta \, = \, -\gamma, \, \alpha \, = \, -2\gamma
</pre>
<p>


Para cualquier valor que tome   
\gamma \neq 0
  se obtiene un valor para   
\beta
  y otro para   
\alpha
  tambien distintos de cero, luego   
\vec{\mathbf{u}}
,   
\vec{\mathbf{v}}
  y   
\vec{\mathbf{w}}
  son linealmente dependientes.




En   
R^2
, dos vectores   
u \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, u_1, \, u_2 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
v \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, v_1, \, v_2 \,
</pre>
<p>\right)
  son:


        linealmente independientes si:        

        linealmente dependientes si:        

Imagen:determinante.gif

Imagen:determinante2.gif


En   
R^3
, tres vectores   
u \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, u_1, \, u_2, \, u_3 \, 
</pre>
<p>\right)
,   
v \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, v_1, \, v_2, \, v_3 \, 
</pre>
<p>\right)
  y   
v \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, w_1, \, w_2, \, w_3 \, 
</pre>
<p>\right)
  son:


linealmente independientes si:

linealmente dependientes si:

        Imagen:determinante3.gif        

        Imagen:determinante4.gif        


   
 
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