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Dependencia e independencia lineal

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Independencia lineal)
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Los vectores &nbsp;
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\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
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&nbsp; son linealmente independientes si:
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\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
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\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
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\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0
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===Ejemplo===
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Los vectores &nbsp;
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\vec{\mathbf{u}} \, = \,
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\, 1, \, 0, \, 1 \,
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\, 0, \, 1, \, 0 \,
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\, 0, \, 0, \, 1 \,
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\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
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\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
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\, \alpha, \, \beta, \, \alpha \, + \, \gamma \,
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\, \Rightarrow \, \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0
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Los vectores &nbsp;
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\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
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&nbsp; son linealmente dependientes si existen numeros reales &nbsp;
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\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots \, , \, \alpha_n
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&nbsp; no todos nulos tales que:
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\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
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\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0
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===Ejemplo===
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Los vectores &nbsp;
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\vec{\mathbf{u}} \, = \,
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\left(
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\, 1, \, 0, \, 1 \,
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\vec{\mathbf{w}} \, = \,
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&nbsp; son linealmente dependientes, pues:
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\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
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\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
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\left(
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\, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \,
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\, = \,
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\, 0, \, 0, \, 0 \,
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Igualando componentes:
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\left.
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\begin{array}[c]{rcl}
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\alpha\, - \, \beta \, + \, \gamma & = & 0
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\\
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\beta \, + \, \gamma & = & 0
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\\
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\alpha \, + \, 2\gamma & = & 0
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\end{array}
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\right\}
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\, \Rightarrow \beta \, = \, -\gamma, \, \alpha \, = \, -2\gamma
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Para cualquier valor que tome &nbsp;
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\gamma \neq 0
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&nbsp; se obtiene un valor para &nbsp;
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\beta
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&nbsp; y otro para &nbsp;
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\alpha
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&nbsp; tambien distintos de cero, luego &nbsp;
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\vec{\mathbf{u}}
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&nbsp; y &nbsp;
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\vec{\mathbf{w}}
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&nbsp; son linealmente dependientes.
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En &nbsp;
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R^2
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, dos vectores &nbsp;
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\vec{\mathbf{u}} \, = \,
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\left(
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\, u_1, \, u_2 \,
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\right)
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&nbsp; y &nbsp;
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\vec{\mathbf{v}} \, = \,
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\left(
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\, v_1, \, v_2 \,
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&nbsp; son:
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border = "n" >
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> independientes
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</span> si: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> dependientes
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</span> si: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
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[[Imagen:determinante2.gif]]
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En &nbsp;
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, tres vectores &nbsp;
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\vec{\mathbf{u}} \, = \,
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\left(
 +
\, u_1, \, u_2, \, u_3 \,
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, &nbsp;
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<math>
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\vec{\mathbf{v}} \, = \,
 +
\left(
 +
\, v_1, \, v_2, \, v_3 \,
 +
\right)
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</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
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<math>
 +
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
 +
\left(
 +
\, w_1, \, w_2, \, w_3 \,
 +
\right)
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</math> &nbsp; son:
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border = "n" >
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<tr>
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<td>
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> independientes </span> si:
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</td>
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<td>
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> dependientes </span> si:
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</td>
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Imagen:determinante3.gif]] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
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</td>
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&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Imagen:determinante4.gif]] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
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[[Categoría:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Combinación lineal


Una combinación lineal de los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1 \, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
,   es una suma de la forma:



\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n


siendo los coeficientes   
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n
  numeros reales.


Ejemplo


Dados los vectores   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
, una combinación lineal de ellos es el vector   
3\vec{\mathbf{u}} \, + \, 2\vec{\mathbf{v}}


Independencia lineal


Los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
  son linealmente independientes si:



\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0


Ejemplo


Los vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
  son linealmente independientes, pues:



\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow 

\left(
</p>
<pre> \, \alpha, \, 0, \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, \beta, \, 0 \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, \gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, \alpha, \, \beta, \, \alpha \, + \, \gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,



\, = \, 
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\, \Rightarrow \, \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0




Los vectores   
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
  son linealmente dependientes si existen numeros reales   
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots \, , \, \alpha_n
  no todos nulos tales que:



\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0


Ejemplo


Los vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
, \,
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, -1, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 1, \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
  son linealmente dependientes, pues:



\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow



\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)


Igualando componentes:



\left.
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \alpha\, - \, \beta \, + \, \gamma & = & 0
   \\
   \beta \, + \, \gamma & = & 0
   \\
   \alpha \, + \, 2\gamma & = & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}
</p>
<pre>\, \Rightarrow \beta \, = \, -\gamma, \, \alpha \, = \, -2\gamma
</pre>
<p>


Para cualquier valor que tome   
\gamma \neq 0
  se obtiene un valor para   
\beta
  y otro para   
\alpha
  tambien distintos de cero, luego   
\vec{\mathbf{u}}
,   
\vec{\mathbf{v}}
  y   
\vec{\mathbf{w}}
  son linealmente dependientes.




En   
R^2
, dos vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, u_1, \, u_2 \,
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, v_1, \, v_2 \,
</pre>
<p>\right)
  son:


        linealmente independientes si:        

        linealmente dependientes si:        

Imagen:determinante.gif

Imagen:determinante2.gif


En   
R^3
, tres vectores   
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, u_1, \, u_2, \, u_3 \, 
</pre>
<p>\right)
,   
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, v_1, \, v_2, \, v_3 \, 
</pre>
<p>\right)
  y   
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, w_1, \, w_2, \, w_3 \, 
</pre>
<p>\right)
  son:


        linealmente independientes si:

        linealmente dependientes si:

        Imagen:determinante3.gif        

        Imagen:determinante4.gif        


   
 
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