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Dependencia e independencia lineal

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 189.158.142.232 (Talk); a la última edición de Laura.2mdc)
(→Independencia lineal)
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-
 
-
==Independencia lineal==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los vectores &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son linealmente independientes si:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
 
-
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \,
 
-
\ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Ejemplo===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los vectores &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 1, \, 0, \, 1 \,
 
-
\right)
 
-
, \,
 
-
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 0, \, 1, \, 0 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 0, \, 0, \, 1 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son linealmente independientes, pues:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
 
-
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
 
-
</math>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, \alpha, \, 0, \, \alpha \,
 
-
\right)
 
-
\, + \,
 
-
\left(
 
-
\, 0, \, \beta, \, 0 \,
 
-
\right)
 
-
\, + \,
 
-
\left(
 
-
\, 0, \, 0, \, \gamma \,
 
-
\right)
 
-
\, = \,
 
-
\left(
 
-
\, \alpha, \, \beta, \, \alpha \, + \, \gamma \,
 
-
\right)
 
-
\, = \,
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<math>
 
-
\, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 0, \, 0, \, 0 \,
 
-
\right)
 
-
\, \Rightarrow \, \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
----
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los vectores &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son linealmente dependientes si existen numeros reales &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots \, , \, \alpha_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; no todos nulos tales que:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \,
 
-
\alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
===Ejemplo===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los vectores &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 1, \, 0, \, 1 \,
 
-
\right)
 
-
, \,
 
-
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, -1, \, 1, \, 0 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 1, \, 1, \, 2 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son linealmente dependientes, pues:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \,
 
-
\gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \,
 
-
\right)
 
-
\, = \,
 
-
\left(
 
-
\, 0, \, 0, \, 0 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Igualando componentes:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left.
 
-
\begin{array}[c]{rcl}
 
-
\alpha\, - \, \beta \, + \, \gamma & = & 0
 
-
\\
 
-
\beta \, + \, \gamma & = & 0
 
-
\\
 
-
\alpha \, + \, 2\gamma & = & 0
 
-
\end{array}
 
-
\right\}
 
-
\, \Rightarrow \beta \, = \, -\gamma, \, \alpha \, = \, -2\gamma
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Para cualquier valor que tome &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\gamma \neq 0
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se obtiene un valor para &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\beta
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y otro para &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\alpha
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tambien distintos de cero, luego &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{u}}
 
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{w}}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son linealmente dependientes.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
----
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
En &nbsp;
 
-
<math>
 
-
R^2
 
-
</math>
 
-
, dos vectores &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, u_1, \, u_2 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, v_1, \, v_2 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; son:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<table
 
-
border = "n" >
 
-
<tr>
 
-
<td>
 
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> independientes
 
-
</span> si: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
-
</td>
 
-
<td>
 
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> dependientes
 
-
</span> si: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
-
</td>
 
-
</tr>
 
-
<tr>
 
-
<td>
 
-
<center>
 
-
[[Imagen:determinante.gif]]
 
-
</center>
 
-
</td>
 
-
<td>
 
-
<center>
 
-
[[Imagen:determinante2.gif]]
 
-
</center>
 
-
</td>
 
-
</tr>
 
-
</table>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
En &nbsp;
 
-
<math>
 
-
R^3
 
-
</math>
 
-
, tres vectores &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{u}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, u_1, \, u_2, \, u_3 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{v}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, v_1, \, v_2, \, v_3 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\vec{\mathbf{w}} \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, w_1, \, w_2, \, w_3 \,
 
-
\right)
 
-
</math> &nbsp; son:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<table
 
-
border = "n" >
 
-
<tr>
 
-
<td>
 
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> independientes </span> si:
 
-
</td>
 
-
<td>
 
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; linealmente <span style= 'color:#00AA00'> dependientes </span> si:
 
-
</td>
 
-
</tr>
 
-
<tr>
 
-
<td>
 
-
<center>
 
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Imagen:determinante3.gif]] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
-
</center>
 
-
</td>
 
-
<td>
 
-
<center>
 
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Imagen:determinante4.gif]] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
-
</center>
 
-
</td>
 
-
</tr>
 
-
</table>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Categoría:Matemáticas]]
 

Revisión de 23:53 28 sep 2009

Combinación lineal


Una combinación lineal de los vectores   \vec{\mathbf{v}}_1 \, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n ,   es una suma de la forma:


\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n


siendo los coeficientes   \alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n   numeros reales.


Ejemplo


Dados los vectores   \vec{\mathbf{u}}   y   \vec{\mathbf{v}} , una combinación lineal de ellos es el vector   3\vec{\mathbf{u}} \, + \, 2\vec{\mathbf{v}}


Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Dependencia_e_independencia_lineal.html"
   
 
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