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Definición y tipos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
 
-
==Introducción==
 
<br/>
<br/>
-
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
+
==Definición==
<br/>
<br/>
-
Los métodos de [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de igualación|igualación]], [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de sustitución|sustitución]] y [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de reducción|reducción]] consisten en
+
Un '''''sistema de ecuaciones lineales''''' con incógnitas &nbsp;
-
encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa
+
<math>
-
incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas
+
\left(
-
facil, ¿no?).
+
\, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es un conjunto formado por &nbsp;
 +
<math>
 +
m
 +
</math>
 +
&nbsp; igualdades de la forma:
<br/>
<br/>
-
A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de
 
-
pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos
 
-
incognitas que las ecuaciones previas.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize
 
-
un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se
 
-
utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta
 
-
incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar
 
-
para resolver [[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados|sistemas de ecuaciones compatibles determinados]] e
 
-
[[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados|indeterminados]].
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de
 
-
ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos
 
-
conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que
 
-
es falsa, por ejemplo:
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
2 = 3
+
\left.
 +
\begin{array}{c}
 +
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
 +
\\
 +
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
 +
\\
 +
\dotfill
 +
\\
 +
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
 +
\end{array}
 +
\right\}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 50: Línea 38:
<br/>
<br/>
-
El [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de la matriz inversa|método de la matriz inversa]] y la [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Regla de Cramer|regla de Cramer]] solo se pueden utilizar en
+
donde los &nbsp;
-
el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Método de reducción==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número
+
-
de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
+
-
la ecuación por dicho número.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho
+
-
( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las
+
-
ecuaciones que se suman.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Ejemplo===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
a_{ij}
-
\begin{array}{l}
+
-
5x - 3y = 2
+
-
\\
+
-
3x - 4y = -1
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; se llaman '''''coeficientes''''' y los &nbsp;
-
 
+
-
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
b_i
-
\begin{array}{l}
+
-
15x - 9y = 6
+
-
\\
+
-
-15x + 20y = 5
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
, &nbsp; '''''terminos independientes''''' del sistema.
-
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
+
<br/>
-
<center>
+
 
 +
En los coeficientes &nbsp;
<math>
<math>
-
11y = 11
+
a_{ij}
</math>
</math>
-
</center>
+
, &nbsp; el subindice &nbsp;
-
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
y = 1
+
i
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coeficiente, y el subíndice
-
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
+
&nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
j
</math>
</math>
-
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
+
&nbsp; se&ntilde;ala de que incognita es coeficiente &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Sutituyendo <math> y </math> por uno en la primera ecuación del sistema de
+
-
ecuaciones de partida, se obtiene
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
5x - 3 = 2
+
a_{ij}
</math>
</math>
-
</center>
+
.
-
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x = 1
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
==Método de igualación==
+
El subindice &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El método de igualación consiste en lo siguiente:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
i
-
\begin{array}{l}
+
-
a = b
+
-
\\
+
-
a = c
+
-
\item \end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; que aparece en el término &nbsp;
-
donde
+
<math>
<math>
-
a
+
b_i
-
</math>,
+
</math>
-
<math>
+
, &nbsp; indica la ecuación de la que &nbsp;
-
b
+
-
</math>,
+
-
y
+
<math>
<math>
-
c
+
b_i
</math>
</math>
-
representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
+
&nbsp; es término independiente.
-
algebraicas ).
+
<br/>
<br/>
-
De las dos igualdades anteriores se deduce que
+
El sistema anterior de &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
b = c
+
m
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; ecuaciones lineales con &nbsp;
-
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en
+
<math>
<math>
-
a
+
n
</math>
</math>
-
ni en
+
&nbsp; incognitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:
-
<math>
+
 
-
b
+
<br/>
-
</math>,
+
 
-
entonces la ecuación
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
b = c
+
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}
 +
\\
 +
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
x_1
 +
\\
 +
x_2
 +
\\
 +
\vdots
 +
\\
 +
x_n
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
b_1
 +
\\
 +
b_2
 +
\\
 +
\vdots
 +
\\
 +
b_m
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
no contendría dicha incognita.
 
<br/>
<br/>
-
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta
+
De izquierda a derecha, la primera matriz, en la igualdad anterior es la '''''matriz de los coeficientes''''' y la llamaremos
-
llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos
+
&nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
.
+
, la segunda matriz es la matriz de las incognitas y la llamaremos &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye
+
<math>
<math>
-
x
+
\mathbf{B}
</math>
</math>
-
por su solución en otras ecuaciones dode aparezca
+
. La tercera es la matriz de los terminos indedependientes y la llamaremos &nbsp;
<math>
<math>
-
x
+
\mathbf{B}
</math>
</math>
-
para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.
+
.
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
Con esta notación, nuestro sistema de ecuaciones lineales se puede representar de la
 +
siguiente manera:
<br/>
<br/>
-
El sistema de ecuaciones
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}
-
\begin{array}{l}
+
-
2x - 3y = -1
+
-
\\
+
-
2x + 4y = 6
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
es equivalente a este otro
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left\{
 
-
\begin{array}{l}
 
-
2x = -1 + 3y
 
-
\\
 
-
2x = 6 -4y
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en
 
-
<math>
 
-
y
 
-
</math>
 
-
del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las
 
-
ecuaciones del primer sistema.
 
<br/>
<br/>
-
Del segundo sistema se deduce que
+
La matriz de los coeficientes ampliada con los terminos independientes o
-
<center>
+
simplemente la
 +
'''''matriz ampliada''''' es la matriz de los coeficientes,
<math>
<math>
-
-1 + 3y = 6 - 4y
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
</center>
+
, a la que se añade la columna de los terminos independientes, &nbsp;
-
que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es &nbsp;
+
<math>
<math>
-
y = 1
+
\mathbf{B}
-
</math>.
+
</math>
 +
&nbsp;:
<br/>
<br/>
-
Sustituyendo
 
-
<math>
 
-
y
 
-
</math>
 
-
por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
2x - 3 = -1
+
\mathbf{A}|\mathbf{B} \, = \,
 +
\left(
 +
\left.
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}
 +
\\
 +
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
b_1
 +
\\
 +
b_2
 +
\\
 +
\vdots
 +
\\
 +
b_m
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x = 1
 
-
</math>.
 
<br/>
<br/>
-
==Método de sustitución==
+
==Solución de un sistema de ecuaciones lineales==
<br/>
<br/>
-
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
+
Serán soluciones de un sistema de ecuaciones lineales todas las n-tuplas &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
\left(
-
\begin{array}{l}
+
\, s_1, \, s_2, \, \ldots, \, s_n \,
-
a \cdot b + c = d
+
\right)
-
\\
+
-
a + e = f
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; tales que al sustituir &nbsp;
-
Entonces podemos despejar
+
<math>
<math>
-
a
+
x_i
</math>
</math>
-
en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
+
&nbsp; por &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d
+
s_i
</math>
</math>
-
</center>
+
, &nbsp; para &nbsp;
-
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de
+
<math>
-
partida.
+
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 +
</math>
 +
, &nbsp; todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.
<br/>
<br/>
-
Aqui &nbsp;
+
Al conjunto
-
<math>
+
de todas las soluciones del sistema se le llama solución general, y a cada una de las
-
a, \, b, \, c, \, d, \, e
+
soluciones que forman dicho conjunto, solución particular.
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
f
+
-
</math>
+
-
&nbsp; son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.
+
<br/>
<br/>
Línea 333: Línea 251:
<br/>
<br/>
-
Intentemos resolver
+
La solución del sistema de ecuaciones lineales
 +
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\left\{
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
-
4x + 3y = 7
+
5x + 2y = 9
\\
\\
-
2x - y = 1
+
4x - 3y = -2
\end{array}
\end{array}
\right.
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
-
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
+
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
x
 +
\\
 +
y
 +
\end{array}
 +
\, \right)
 +
=
 +
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
1
 +
\\
 +
2
 +
\end{array}
 +
\, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
+
 
-
<center>
+
porque cuando sustituimos
<math>
<math>
-
2x = 1 + y
+
x
</math>
</math>
-
</center>
+
por 1 e
-
Sustituyendo &nbsp;
+
<math>
<math>
-
2x
+
y
-
</math>
+
-
&nbsp; por
+
-
<math>
+
-
1 + y
+
</math>
</math>
-
en
+
por 2 en el sistema de ecuaciones, obtenemos
<center>
<center>
<math>
<math>
-
2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 9
 +
\\
 +
4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -2
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
-
se tiene que
+
que son identidades ( igualdades ciertas ).
-
<center>
+
 
-
<math>
+
<br/>
-
2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7
+
 
-
</math>
+
==Tipos de sistemas de ecuaciones lineales==
-
</center>
+
-
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es
+
-
<math>
+
-
y = 1
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
Sustituyendo
 
-
<math>
 
-
y
 
-
</math>
 
-
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos
 
-
una ecuación de una sola incognita
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
4 + 3y = 7
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
COMPATIBLES
 +
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
DETERMINADOS
 +
\\
 +
INDETERMINADOS
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
\\
 +
INCOMPATIBLES
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
-
cuya solución es &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x = 1
 
-
</math>.
 
-
<br/>
 
-
==Método de Gauss==
 
<br/>
<br/>
-
[[Imagen:gauss.jpg|frame|Gauss es uno de los matematicos mas
+
===Sistemas de ecuaciones compatibles e incompatibles===
-
importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!]]
+
<br/>
<br/>
-
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
+
Un sistema de ecuaciones lineales es '''''compatible''''' cuando tiene al menos una
-
Para ello tomamos la [[Definición y tipos|matriz ampliada]] del
+
solución e '''''incompatible''''' cuando NO tiene ninguna solución.
-
sistema y mediante las [[Matriz inversa#Operaciones elementales por filas en una matriz|operaciones elementales]]
+
-
por filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
+
-
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil
+
-
de resolver.
+
<br/>
<br/>
-
Es esencialmente el [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#método de reducción|método de reducción]]. En el método de Gauss se
+
====Ejemplo====
-
opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra
+
-
el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita
+
-
siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la
+
-
que multiplican.
+
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
Un sistema de ecuaciones lineales incompatible es
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
+
-
 
+
-
<br/>
+
<center>
<center>
<math>
<math>
\left\{
\left\{
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}{l}
-
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
+
2x = 4
-
\\
+
\\
-
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
+
3x = 3
-
\\
+
\end{array}
-
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
+
-
\end{array}
+
\right.
\right.
</math>
</math>
Línea 452: Línea 368:
<br/>
<br/>
-
es:
+
ya que de la primera ecuación se deduce que &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 2
 +
</math>
 +
&nbsp; mientras que de la segunda se deduce que &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 1
 +
</math>
<br/>
<br/>
 +
Como es imposible que
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
sea dos y uno al mismo tiempo, ambas igualdades
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
x = 1 \qquad \text{y} \qquad x = 2
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
-
\\
+
-
~~1 & ~~1 & -1
+
-
\\
+
-
~~1 & -1 & -1
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
~~1
+
-
\\
+
-
-1
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
son incompatibles y por eso el sistema de ecuaciones con el que iniciabamos este
 +
ejemplo no tiene solución.
<br/>
<br/>
-
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
+
====Teorema de Rouche-Fröbenius====
<br/>
<br/>
-
<center>
+
[[Imagen:frobenius.jpg|frame|Georg F. Fröbenius fue un matematico aleman que nacio en
 +
1849 y murio en 1917. ¡Gracias Georg por tu legado!]]
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Un sistema de &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
m
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
-
\\
+
-
~~0 & ~~0 & -2
+
-
\\
+
-
~~0 & -2 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
-2
+
-
\\
+
-
-4
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; ecuaciones lineales con &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; incognitas es compatible ( tiene solución ) si, y sólo si, el [[Rango de una matriz|rango]] de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz
 +
ampliada.
<br/>
<br/>
-
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda
+
====Ejemplo:sistemas homogeneos====
-
ecuación la primera.
+
<br/>
<br/>
-
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos
+
Un sistema de ecuaciones es '''''homogéneo''''' cuando todos sus terminos independientes
 +
son cero.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
En un sistema de ecuaciones homogeneo, la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathbf{B}
-
\left.
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~1 & ~~1 & ~~1
+
-
\\
+
-
~~0 & -2 & -2
+
-
\\
+
-
~~0 & ~~0 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\begin{array}[c]{c}
+
-
~~3
+
-
\\
+
-
-4
+
-
\\
+
-
-2
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; de los terminos independientes es una matriz nula, de manera que el
 +
[[Rango de una matriz|rango]] de la
 +
matriz de los coeficientes y el de la
 +
matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius,
 +
que un sistema homogeneo SIEMPRE es compatible.
<br/>
<br/>
-
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
+
En cualquier sistema homogeneo, una solución particular es la solución trivial (
 +
todas las incognitas son cero ).
<br/>
<br/>
-
<center>
+
===Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados===
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
+
-
\\
+
-
-2y \, - \, 2z & = & -4
+
-
\\
+
-
-2z & = & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
que es equivalente al inicial.
+
Un sistema de ecuaciones lineales es '''''compatible determinado''''' cuando tiene
 +
solución única.
<br/>
<br/>
-
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener &nbsp;
+
====Ejemplo====
-
<math>
+
-
z
+
-
</math>
+
-
&nbsp;:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
El sistema de ecuaciones lineales
-
<math>
+
-
z \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
En la primera y segunda ecuación, sustituimos &nbsp;
+
-
<math>
+
-
z
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por la solucion de la tercera ecuación &nbsp; ( &nbsp;
+
-
<math>
+
-
1 \to z
+
-
</math>
+
-
&nbsp; ), para obtener:
+
<br/>
<br/>
Línea 597: Línea 461:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\left\{
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
\begin{array}{l}
-
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
+
4x + 3y = 7
-
\\
+
\\
-
-2y \, - \, 2 & = & -4
+
2x - y = 1
-
\end{array}
+
\end{array}
\right.
\right.
</math>
</math>
Línea 609: Línea 473:
<br/>
<br/>
-
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, &nbsp;
+
tiene una única solución
-
<math>
+
-
y
+
-
</math>
+
-
, que resolvemos para obtener &nbsp;
+
-
<math>
+
-
y \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
. &nbsp; Sustituimos, en la primera ecuación, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
y
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por 1 &nbsp; ( &nbsp;
+
-
<math>
+
-
1 \to y
+
-
</math>
+
-
&nbsp; ). Esto nos da una ecuación en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
&nbsp;:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3
+
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
x
 +
\\
 +
y
 +
\end{array}
 +
\, \right)
 +
=
 +
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
1
 +
\\
 +
1
 +
\end{array}
 +
\, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
y se trata, por tanto, de un sistema de ecuaciones compatible determinado.
<br/>
<br/>
-
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
+
===Sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados===
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Un sistema de ecuaciones lineales es '''''compatible indeterminado''''' cuando tiene infinitas
-
<math>
+
soluciones.
-
x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
==Método de la matriz inversa==
+
Un sistema de ecuaciones lineales es '''''compatible indeterminado''''' si y
 +
solo si tiene mas de una solución, es decir:
-
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en [[Definición y tipos#Definición|forma matricial]]:
+
Si un sistema de ecuaciones lineales tiene mas de una solución, entonces tiene infinitas soluciones.
 +
 
 +
Cuando el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado hay que
 +
distinguir entre la solución general del sistema de ecuaciones y las soluciones
 +
particulares del mismo.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Cuando se da la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible
-
<math>
+
indeterminado lo que se da es un la solución general. Esta solución depende de
-
\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}
+
uno o mas parametros.
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Si &nbsp;
+
Dando a los parametros unos valores determinados obtenemos una solución
-
<math>
+
particular del sistema; dando a los parametros otros valores distintos obtenemos
-
\mathbf{A}^{-1}
+
otra solución particular del sistema.
-
</math>
+
-
&nbsp; existe, es decir, si &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathbf{A}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda
+
-
la igualdad anterior por la izquierda por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathbf{A}^{-1}
+
-
</math>
+
-
, para obtener:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
El número de parametros en la solución general coincide con el número de
-
<math>
+
incognitas menos el rango de la matriz de los coeficientes del sistema.
-
\mathbf{X} \, = \, \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes &nbsp;
+
Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:
-
<math>
+
-
\mathbf{A}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y matriz de terminos independientes &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathbf{B}
+
-
</math>
+
-
.
+
<br/>
<br/>
-
==Regla de Cramer==
+
1. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incognitas.
<br/>
<br/>
-
[[Imagen:cramer2.gif|frame|Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A
+
2. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al número de incognitas.
-
él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!]]
+
<br/>
<br/>
-
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
+
En el primer caso el sistema es compatible
-
utilizar cuando la matriz &nbsp;
+
indeterminado y en el segundo caso el sistema es
-
<math>
+
[[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados|compatible determinado]].
-
\mathbf{A}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathbf{A}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones
+
-
coincide.
+
<br/>
<br/>
-
Cuando el sistema de ecuaciones
+
====Ejemplo====
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El sistema de ecuaciones
<br/>
<br/>
Línea 733: Línea 563:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left.
+
\left\{
-
\begin{array}{c}
+
\begin{array}{l}
-
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
+
4x + 3y = 0
-
\\
+
\\
-
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
+
2x - y = 0
-
\\
+
\end{array}
-
\dotfill
+
\right.
-
\\
+
-
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
+
-
\end{array}
+
-
\right\}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 749: Línea 575:
<br/>
<br/>
-
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:
+
es homogeneo.
<br/>
<br/>
 +
Como el determinante de la matriz de los coeficientes
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_1 \, = \, \frac
+
\left|
-
{
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\left|
+
4 & 3
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
\\
\\
-
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
2 & -1
-
\\
+
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
-
\\
+
-
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
\end{array}
\end{array}
\right|
\right|
-
}
 
-
{|\mathbf{A}|}
 
-
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
 
-
{
 
-
\left|
 
-
\begin{array}[c]{cccc}
 
-
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
 
-
\\
 
-
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
 
-
\\
 
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 
-
\\
 
-
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
 
-
\end{array}
 
-
\right|
 
-
}
 
-
{|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots
 
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
+
es distinto de cero &nbsp;
-
<br/>
+
<math>
 +
\left( \, 4 \cdot \left( \, -1 \, \right) - 2 \cdot 3 = -10 \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; el rango de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
coincide con el número de incognitas ( 3 ) y, por lo tanto, el
 +
sistema es [[Tipos de sistemas de ecuaciones lineales#Sistemas compatibles determinados|compatible determinado]], es decir tiene una solución única.
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
+
\left( \,
-
{
+
\begin{array}{c}
-
\left|
+
x
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\\
-
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
+
y
-
\\
+
\end{array}
-
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
+
\, \right)
-
\\
+
=
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
\left( \,
-
\\
+
\begin{array}{c}
-
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
+
0
-
\end{array}
+
\\
-
\right|
+
0
-
}
+
\end{array}
-
{|\mathbf{A}|}
+
\, \right)
-
\qquad \qquad
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 813: Línea 624:
<br/>
<br/>
-
En general
+
====Ejemplo====
<br/>
<br/>
 +
El sistema de ecuaciones
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_i \, = \, \frac{|\mathbf{A}_i|}{|\mathbf{A}|}
+
x + y = 2
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
esta formado por una única ecuación y es compatible indeterminado, ya que
 +
tiene mas de dos soluciones.
<br/>
<br/>
-
donde &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}_i
+
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
x
 +
\\
 +
y
 +
\end{array}
 +
\, \right)
 +
=
 +
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
1
 +
\\
 +
1
 +
\end{array}
 +
\, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de &nbsp;
+
</center>
 +
e
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}
+
\left( \,
-
</math>
+
\begin{array}{c}
-
&nbsp; por la [[Definición y tipos|matriz de los terminos independientes]], &nbsp;
+
x
-
<math>
+
\\
-
B
+
y
 +
\end{array}
 +
\, \right)
 +
=
 +
\left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
2
 +
\\
 +
0
 +
\end{array}
 +
\, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp;.
+
</center>
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
Para dar la solución de esta ecuación tenemos que introducir un parametro que
 +
podemos llamar
 +
<math>
 +
t
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Consideremos el sistema de ecuaciones:
+
 
 +
La solución general, en este caso, esta parametrizada por un solo parametro
 +
porque
 +
 
 +
<center>
 +
número de incognitas ( 2 ) - rango de la matriz de los coeficientes( 1 ) = 1
 +
</center>
<br/>
<br/>
 +
La matriz de los coeficientes es una matriz con una fila y dos columnas
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{A} = \left( \, 1 \qquad 1 \, \right)
-
\begin{array}[c]{rcl}
+
-
x \, + \, y \, = \, 2
+
-
\\
+
-
x \, - \, y \, = \, 0
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
cuyo rango es 1 ( la unica manera posible de que una matriz tenga rango menor que 1 es teniendo todos sus elementos cero, en cuyo
 +
caso tendria rango cero ).
<br/>
<br/>
-
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz &nbsp;
+
Si hacemos &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathbf{A}
+
y = t
</math>
</math>
-
&nbsp; de los coeficientes es una matriz cuadrada y &nbsp;
+
&nbsp; nos queda que
 +
<center>
<math>
<math>
-
|\mathbf{A}| \, = \,
+
x = 1 - t
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & ~~1
+
-
\\
+
-
1 & -1
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\, = \, -2 \neq 0
+
</math>
</math>
-
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
+
</center>
 +
de manera que la solución general seria
<br/>
<br/>
Línea 884: Línea 725:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \, = \, \frac
+
\left( \,
-
{
+
\begin{array}{c}
-
\left|
+
x
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\\
-
2 & ~~1
+
y
-
\\
+
\end{array}
-
0 & -1
+
\, \right)
-
\end{array}
+
=
-
\right|
+
\left( \,
-
}
+
\begin{array}{c}
-
{|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
+
1 - t
-
\qquad \qquad y \, = \, \frac
+
\\
-
{
+
t
-
\left|
+
\end{array}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\, \right)
-
1 & 2
+
=
-
\\
+
\left( \,
-
1 & 0
+
\begin{array}{c}
-
\end{array}
+
1
-
\right|
+
\\
-
}
+
0
-
{|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
+
\end{array}
 +
\, \right)
 +
+
 +
t \cdot \left( \,
 +
\begin{array}{c}
 +
-1
 +
\\
 +
~1
 +
\end{array}
 +
\, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 16:42 27 sep 2010


Tabla de contenidos

Definición


Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas   \left( </p> <pre> \, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \, </pre> <p>\right)   es un conjunto formado por   m   igualdades de la forma:


\left. </p> <pre> \begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \dotfill \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{array} </pre> <p>\right\}


donde los   a_{ij}   se llaman coeficientes y los   b_i ,   terminos independientes del sistema.


En los coeficientes   a_{ij} ,   el subindice   i   indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coeficiente, y el subíndice   j   señala de que incognita es coeficiente   a_{ij} .


El subindice   i   que aparece en el término   b_i ,   indica la ecuación de la que   b_i   es término independiente.


El sistema anterior de   m   ecuaciones lineales con   n   incognitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} </pre> <p>\right) \, = \, \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} </pre> <p>\right)


De izquierda a derecha, la primera matriz, en la igualdad anterior es la matriz de los coeficientes y la llamaremos   \mathbf{A} , la segunda matriz es la matriz de las incognitas y la llamaremos   \mathbf{B} . La tercera es la matriz de los terminos indedependientes y la llamaremos   \mathbf{B} .


Con esta notación, nuestro sistema de ecuaciones lineales se puede representar de la siguiente manera:


\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}


La matriz de los coeficientes ampliada con los terminos independientes o simplemente la matriz ampliada es la matriz de los coeficientes, \mathbf{A} , a la que se añade la columna de los terminos independientes,   \mathbf{B}  :


\mathbf{A}|\mathbf{B} \, = \, \left( </p> <pre> \left. \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right| \begin{array}[c]{c} </p> <pre> b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m </pre> <p>\end{array} \right)


Solución de un sistema de ecuaciones lineales


Serán soluciones de un sistema de ecuaciones lineales todas las n-tuplas   \left( </p> <pre> \, s_1, \, s_2, \, \ldots, \, s_n \, </pre> <p>\right)   tales que al sustituir   x_i   por   s_i ,   para   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n ,   todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.


Al conjunto de todas las soluciones del sistema se le llama solución general, y a cada una de las soluciones que forman dicho conjunto, solución particular.


Ejemplo


La solución del sistema de ecuaciones lineales

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 5x + 2y = 9 \\ 4x - 3y = -2 </pre> <p>\end{array} \right.


es

\left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> x \\ y </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 1 \\ 2 </pre> <p>\end{array} \, \right)

porque cuando sustituimos x por 1 e y por 2 en el sistema de ecuaciones, obtenemos

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 9 \\ 4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -2 </pre> <p>\end{array} \right.

que son identidades ( igualdades ciertas ).


Tipos de sistemas de ecuaciones lineales


\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} COMPATIBLES \left\{ \begin{array}{l} DETERMINADOS \\ INDETERMINADOS \end{array} \right. \\ INCOMPATIBLES \end{array} </pre> <p>\right.



Sistemas de ecuaciones compatibles e incompatibles


Un sistema de ecuaciones lineales es compatible cuando tiene al menos una solución e incompatible cuando NO tiene ninguna solución.


Ejemplo


Un sistema de ecuaciones lineales incompatible es

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 2x = 4 \\ 3x = 3 </pre> <p>\end{array} \right.


ya que de la primera ecuación se deduce que   x = 2   mientras que de la segunda se deduce que   x = 1


Como es imposible que x sea dos y uno al mismo tiempo, ambas igualdades

x = 1 \qquad \text{y} \qquad x = 2

son incompatibles y por eso el sistema de ecuaciones con el que iniciabamos este ejemplo no tiene solución.


Teorema de Rouche-Fröbenius


Georg F. Fröbenius fue un matematico aleman que nacio en 1849 y murio en 1917. ¡Gracias Georg por tu legado!
Georg F. Fröbenius fue un matematico aleman que nacio en 1849 y murio en 1917. ¡Gracias Georg por tu legado!


Un sistema de   m   ecuaciones lineales con   n   incognitas es compatible ( tiene solución ) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.


Ejemplo:sistemas homogeneos


Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus terminos independientes son cero.


En un sistema de ecuaciones homogeneo, la matriz   \mathbf{B}   de los terminos independientes es una matriz nula, de manera que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius, que un sistema homogeneo SIEMPRE es compatible.


En cualquier sistema homogeneo, una solución particular es la solución trivial ( todas las incognitas son cero ).


Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados


Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado cuando tiene solución única.


Ejemplo


El sistema de ecuaciones lineales


\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 4x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 </pre> <p>\end{array} \right.


tiene una única solución

\left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> x \\ y </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 1 \\ 1 </pre> <p>\end{array} \, \right)

y se trata, por tanto, de un sistema de ecuaciones compatible determinado.


Sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados


Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.


Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado si y solo si tiene mas de una solución, es decir: 

Si un sistema de ecuaciones lineales tiene mas de una solución, entonces tiene infinitas soluciones.

Cuando el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado hay que distinguir entre la solución general del sistema de ecuaciones y las soluciones particulares del mismo.


Cuando se da la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado lo que se da es un la solución general. Esta solución depende de uno o mas parametros.


Dando a los parametros unos valores determinados obtenemos una solución particular del sistema; dando a los parametros otros valores distintos obtenemos otra solución particular del sistema.


El número de parametros en la solución general coincide con el número de incognitas menos el rango de la matriz de los coeficientes del sistema.


Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:


1. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incognitas.


2. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al número de incognitas.


En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.


Ejemplo


El sistema de ecuaciones


\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 4x + 3y = 0 \\ 2x - y = 0 </pre> <p>\end{array} \right.


es homogeneo.


Como el determinante de la matriz de los coeficientes

\left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right| </pre> <p>

es distinto de cero   \left( \, 4 \cdot \left( \, -1 \, \right) - 2 \cdot 3 = -10 \, \right) ,   el rango de \mathbf{A} coincide con el número de incognitas ( 3 ) y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado, es decir tiene una solución única.

\left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> x \\ y </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 0 \\ 0 </pre> <p>\end{array} \, \right)


Ejemplo


El sistema de ecuaciones

x + y = 2

esta formado por una única ecuación y es compatible indeterminado, ya que tiene mas de dos soluciones.


\left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> x \\ y </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 1 \\ 1 </pre> <p>\end{array} \, \right)

e

\left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> x \\ y </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 2 \\ 0 </pre> <p>\end{array} \, \right)


Para dar la solución de esta ecuación tenemos que introducir un parametro que podemos llamar t .


La solución general, en este caso, esta parametrizada por un solo parametro porque

número de incognitas ( 2 ) - rango de la matriz de los coeficientes( 1 ) = 1


La matriz de los coeficientes es una matriz con una fila y dos columnas

\mathbf{A} = \left( \, 1 \qquad 1 \, \right)

cuyo rango es 1 ( la unica manera posible de que una matriz tenga rango menor que 1 es teniendo todos sus elementos cero, en cuyo caso tendria rango cero ).


Si hacemos   y = t   nos queda que

x = 1 - t

de manera que la solución general seria


\left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> x \\ y </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 1 - t \\ t </pre> <p>\end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> 1 \\ 0 </pre> <p>\end{array} \, \right) + t \cdot \left( \, \begin{array}{c} </p> <pre> -1 \\ ~1 </pre> <p>\end{array} \, \right)


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