Definición de una recta

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 14:46 4 dic 2006

Al igual que ocurre en el plano, una recta en el espacio queda determinada conociendo un punto $P$ y un vector no nulo $\vec {\mathbf{v}}$ que se llama vector director o direccional de la recta.

Estudiamos a continuacion las diferentes formas que puede adoptar la ecuacion de una recta.

Ecuacion en forma vectorial

La recta que pasa por el punto $P_0 = \left( <pre>\, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ y tiene por vector director $\vec {\mathbf{v}} = \left( <pre>\, v_x, \, v_y, \, v_z \, </pre> \right)$ es el conjunto de puntos $P$ del espacio que verifican la relacion vectorial $\stackrel{\longrightarrow}{P_oP} = \lambda \vec {\mathbf{v}}$ con $\lambda \in R$

Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados.

Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus angulos de la siguiente forma:

El seno de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es la cosecante:

$\mathrm{sen} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto opuesto}}$

El coseno de un ángulo, es la razon entre su cateto contiguo y la hipotenusa. Su inversa es la secante:

$\cos \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{hipotenusa}}$

$\sec \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto contiguo}}$

La tangente de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y su cateto contiguo. Su inversa es la contangente:

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{cateto contiguo}}$

$\mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{cateto opuesto}}$

Para el estudio de las razones trigonometricas se suele considerar el angulo $\alpha$ que forma el eje $X$ con el radio de una circunferencia de radio $1$ y centrada en el origen de coordenadas. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniometrica.

En este caso

$\mathrm{sen} \, \alpha = y \qquad \mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{1}{y} \qquad $

$\cos \alpha = x \qquad \sec \alpha = \frac{1}{x}$

$\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \qquad \mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{x}{y}$

El angulo $\alpha$ aumenta sii movemos el punto $P$ en la circunferencia de manera que el radio $\overline{OP}$ gire en sentido contrario al de las las agujas del reloj.

Si $P$ esta a la derecha del eje $Y,$ entonces $x > 0.$ En caso contrario, se tiene que $x < 0.$ Si $P$ esta por encima del eje $X,$ entonces $y > 0.$ En caso contrario, se tiene que $y < 0.$

Los ejes de coordenadas dividen la circunferencia goniometrica en cuatro cuadrantes. El signo de las razones de un angulo $\alpha$ depende de en que cuadrante este situado $P$ . Todas las posibilidades estan recogidas en la tabla siguiente:

Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:

$\stackrel{\longrightarrow}{OP} \, \, = \, \, \stackrel{\longrightarrow}{OP_0} + \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$

Si identificamos el punto $P$ con el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto $P,$ $\stackrel{\longrightarrow}{OP}$ , se tiene que $P = P_0 + \lambda \cdot \vec{\mathbf{v}}$