Definición de integral definida. Área bajo la grafica de una función
De Wikillerato
Sea
una función continua en el intervalo
,
tal que
toma solo valores NO negativos en dicho intervalo (
).
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida
entre las rectas verticales de ecuaciones
y
,
la grafica de la función
y el eje X?
El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en
la figura de abajo:
Este area es el valor de la integral entre
y
de
y la denotamos por:
Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).
Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).
Dividimos el intervalo
en
intervalos de la misma longitud
. Los limites de estos intervalos mas
pequeños son:
donde
.
Para
contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo
y cuya altura es de longitud
.
Haciendo esto para
,
terminamos con
rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica
de
que queremos calcular.
En general, cuanto mayor sea
mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a
.
Así, cuando
:
uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera
un número mayor de rectangulos, por ejemplo
:
Llamemos
a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:
Es decir,
tiende a
cuando el número de rectangulos,
,
tiende a infinito.
En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función
toma valores NO negativos en el intervalo
.
¿Que pasaría si
tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso,
¿como podemos calcular el area comprendida
entre las rectas verticales de ecuaciones
y
,
la grafica de la función
y el eje X?
Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso
seria aplicable al caso
, pero ahora:
y el area sobre la grafica de la función es
siendo la integral definida
NO positiva porque
.