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Definición de derivada

De Wikillerato

La derivada de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
x \, = \, a
,   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre> \, a \,
</pre>
<p>\right)
, si existe, es el valor del limite:



\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</pre>
<p>.


Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  es un número real, la función   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x \, = \, a
. Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  no es un número real o el límite no existe, la función   
\mathrm{f}
  no es derivable en dicho punto.


Ejemplo


Calculemos la derivada de   
\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, x^2 
  en   
x \, = \, 2
:



\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
</pre>
<p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,



\, = \, \lim_{h \to 0}
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
\left(
</p>
<pre>  \, h \, + 4 \, \,
\right)
\, = \, 4
</pre>
<p>


   
 
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