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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:29 2 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(7 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 6: Línea 6:
<math>
<math>
x \, = \, a
x \, = \, a
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime
 
-
\left(
 
-
\, a \,
 
-
\right)
 
</math>
</math>
, si existe, es el valor del limite:
, si existe, es el valor del limite:
Línea 27: Línea 20:
<br/>
<br/>
-
Si &nbsp;
+
Si este limite es un número real, la función &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime
+
\mathrm{f}
-
\left(
+
-
\, a \,
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
+
&nbsp; es '''''derivable''''' en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>.
 +
Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es derivable en &nbsp;
+
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x = a
</math>.
</math>.
-
Si &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La derivada de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
en &nbsp;
 +
<math>
 +
x = a
 +
</math>
 +
&nbsp; se denota por &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}^\prime
\mathrm{f}^\prime
\left(
\left(
-
\, a \,
+
\, a \,
\right)
\right)
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f}^\prime
-
</math>
+
\left(
-
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
+
\, a \,
 +
\right)
 +
= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>.
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
==Ejemplo 1==
<br/>
<br/>
Línea 102: Línea 115:
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
==Ejemplo 2==
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =tasas de variación
+
-
 
+
-
==Tasa de variación media==
+
<br/>
<br/>
-
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
+
La función &nbsp;
-
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
+
-
siguiente tabla:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
[[Imagen:tabla7.png]]
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
En este caso, la posición, &nbsp;
+
<math>
<math>
-
y
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
</math>
</math>
-
, se puede ver como una función, &nbsp;
+
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x = 0
</math>
</math>
-
, del tiempo, &nbsp;
+
&nbsp; ya que no existe el limite
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>; es decir:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
+
No existe por que
-
<br/>
+
-
 
+
-
La '''''tasa de variación media''''' de la posición en el intervalo de tiempo desde el
+
-
instante &nbsp;
+
-
<math>
+
-
9
+
-
</math>
+
-
&nbsp; al instante &nbsp;
+
-
<math>
+
-
13.4
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
+
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
-
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
+
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
+
y por que
-
<br/>
+
-
 
+
-
En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left[
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right]
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se define como el cociente:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
+
\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
-
\right)}{b \, - \, a}
+
\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 191: Línea 151:
<br/>
<br/>
-
==Tasa de variación instantánea==
+
es decir, los dos limites laterales son distintos.
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
f
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x \, = \, a
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
+
-
<math>
+
-
b
+
-
</math>
+
-
&nbsp; a &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en la '''''tasa de variación media''''' de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
f
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en el intervalo &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left[
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right]
+
-
</math>; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
f
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x \, = \, a
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
f
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x \, = \, a
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
NOTA: En el límite anterior &nbsp;
+
-
<math>
+
-
b \, = \, a \, + \, h
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
[[Category:Matemáticas]]
+
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
+
-
 
+
-
<center>
+
-
[[Imagen:tablaDeDerivadas.png]]
+
-
</center>
+
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =función derivada
+
-
 
+
-
Si &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es una función derivable en el intervalo &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
-
\subset R
+
-
</math>
+
-
, la '''''función derivada''''' de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la que a cada &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x \in
+
-
\left(
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; le hace corresponder la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en dicho punto. Esta función se designa por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Una función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es '''''derivable''''' en el intervalo &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; si lo es en cada punto del intervalo.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Llamamos '''''derivada de segundo orden''''' de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; a la función derivada de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^\prime
+
-
</math>.
+
-
Esta función se denota por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^{\prime \prime}
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la '''''derivada tercera''''' de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y, en general, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la '''''derivada n-ésima''''' de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
-
</math>: &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la función derivada de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
[[Category:Matemáticas]]
+
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =significado geométrico de la derivada
+
-
 
+
-
Consideremos la grafica de una función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
. Tomemos un punto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A \, = \,
+
-
\left(
+
-
\, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en la grafica de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y que cuando &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n \to \infty
+
-
</math>
+
-
, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_n \to A
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La recta que pasa por los puntos &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_n
+
-
</math>. Sea &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s_n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_n
+
-
</math>
+
-
.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
[[Imagen:tangente.png]]
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Cuando &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\infty
+
-
</math>
+
-
, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s_n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>, &nbsp;
+
-
<math>
+
-
t
+
-
</math>:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
s_n \to t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Habria de esperar, pues, que la pendiente de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s_n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
t
+
-
</math>
+
-
&nbsp; cuando &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\infty
+
-
</math>. Como la pendiente de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s_n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación
+
-
media]]:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
+
-
\right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
+
-
</math>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
(<math>
+
-
A_{n,x} \, =
+
-
</math>
+
-
&nbsp; abcisa de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_n
+
-
</math>)
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
su limite cuando &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n \to \infty
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_x
+
-
</math>; es decir la pendiente de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
t
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_x
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
[[Category:Matemáticas]]
+
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
+
-
 
+
-
__TOC__
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Derivada de la suma==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la suma de dos funciones es
+
-
igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
+
-
\right)
+
-
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Derivada de la diferencia==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la diferencia de dos funciones es
+
-
igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
+
-
\right)
+
-
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Derivada del producto==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del producto de dos funciones,
+
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\mathrm{g}
+
-
</math>
+
-
, viene dada por la fórmula:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
+
-
\right)
+
-
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Derivada del cociente==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del cociente &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\frac{f}{g}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; viene dada por la fórmula:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, \frac{f}{g} \,
+
-
\right)
+
-
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}
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</math>
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[[Category:Matemáticas]]
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%% }}}
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%% {{{ =composición de funciones
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El componer dos funciones &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; y &nbsp;
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\mathrm{g}
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&nbsp; consiste en aplicar &nbsp;
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g
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&nbsp; al resultado de calcular &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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, es decir:
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R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R
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x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
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\left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
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</math>
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</center>
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La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de &nbsp;
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\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
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&nbsp; viene dada por la fórmula:
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\left(
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\, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
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\right)
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^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
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resultado que se conoce como '''''regla de la cadena'''''.
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==Ejemplo==
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Calculemos la derivada de
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)
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&nbsp;
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\mathrm{h}
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&nbsp; es la composición de dos funciones:
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\left\{
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\begin{array}[c]{rcl}
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2
+
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\\
+
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\mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right)
+
-
\end{array}
+
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\right.
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Es decir
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
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Para derivar &nbsp;
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; utilizamos la regla de la cadena:
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<math>
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\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
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Como
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\left\{
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\begin{array}[c]{rcl}
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\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x
+
-
\\
+
-
\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
+
-
\end{array}
+
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\right.
+
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se tiene que
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\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
+
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
+
-
\, x^2 \, \right) \cdot 2x
+
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</math>
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

La derivada de la función   \mathrm{f}   en el punto   x \, = \, a , si existe, es el valor del limite:


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Si este limite es un número real, la función   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a . Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función   \mathrm{f}   NO es derivable en   x = a .


La derivada de la función \mathrm{f} en   x = a   se denota por   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) .


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Ejemplo 1


Calculemos la derivada de   \mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) \, = \, x^2   en   x \, = \, 2 :


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> <p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,


\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( </p> <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> <p>


Ejemplo 2


La función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|   NO es derivable en   x = 0   ya que no existe el limite

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} </pre> <p>

No existe por que

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} </pre> <p>

y por que

\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}


es decir, los dos limites laterales son distintos.


Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_derivada.html"
   
 
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