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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
==Función estrictamente creciente en un intervalo==
+
La derivada de la función  
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
 +
\left(
 +
\, a \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
, si existe, es el valor del limite:
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>.
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
 +
\left(
 +
\, a \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''estrictamente creciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
<math>
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es derivable en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>.
 +
Si &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
\left(
\left(
-
\, a, \, b \,
+
\, a \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Ejemplo==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Calculemos la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{f}
 +
\left(
 +
\, x \,
 +
\right)
 +
\, = \, x^2
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
&nbsp; en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, 2
 +
</math>:
<br/>
<br/>
Línea 27: Línea 78:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
\mathrm{f}^\prime
-
\, - \, x_1} > 0
+
\left(
 +
\, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
 +
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
 +
</math>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<math>
 +
\, = \, \lim_{h \to 0}
 +
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
 +
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
 +
\left(
 +
\, h \, + 4 \, \,
 +
\right)
 +
\, = \, 4
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 34: Línea 102:
<br/>
<br/>
-
&nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =tasas de variación
 +
 
 +
==Tasa de variación media==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
 +
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
 +
siguiente tabla:
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
[[Imagen:funcion4.png]]
+
[[Imagen:tabla7.png]]
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Cuando en la grafica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
+
En este caso, la posición, &nbsp;
-
tambien nos movemos hacia arriba:
+
<math>
 +
y
 +
</math>
 +
, se puede ver como una función, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
, del tiempo, &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>; es decir:
<br/>
<br/>
Línea 51: Línea 140:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_2 > x_1 \Rightarrow
+
y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 58: Línea 146:
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
La '''''tasa de variación media''''' de la posición en el intervalo de tiempo desde el
 +
instante &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
9
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; al instante &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
13.4
</math>
</math>
-
&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
+
&nbsp; es:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
h
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
 +
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
</math>
</math>
-
&nbsp; tal que &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
 
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente creciente en el intervalo &nbsp;
+
&nbsp; en &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\left[
-
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
+
\, a, \, b \,
-
\right)
+
\right]
-
</math>.
+
</math>
 +
&nbsp; se define como el cociente:
<br/>
<br/>
-
De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
 +
\right)}{b \, - \, a}
</math>
</math>
-
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Tasa de variación instantánea==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
<math>
<math>
x \, = \, a
x \, = \, a
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
 +
<math>
 +
b
 +
</math>
 +
&nbsp; a &nbsp;
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
&nbsp; en la '''''tasa de variación media''''' de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; en el intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left[
 +
\, a, \, b \,
 +
\right]
 +
</math>; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
<math>
<math>
f
f
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; en el punto &nbsp;
<math>
<math>
x \, = \, a
x \, = \, a
</math>
</math>
-
, entonces &nbsp;
+
&nbsp; es
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
+
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Función creciente en un intervalo==
+
NOTA: En el límite anterior &nbsp;
 +
<math>
 +
b \, = \, a \, + \, h
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
 +
 
 +
<center>
 +
[[Imagen:tablaDeDerivadas.png]]
 +
</center>
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =función derivada
 +
 
 +
Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''creciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; es una función derivable en el intervalo &nbsp;
<math>
<math>
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
 +
\subset R
 +
</math>
 +
, la '''''función derivada''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la que a cada &nbsp;
 +
<math>
 +
x \in
\left(
\left(
\, a, \, b \,
\, a, \, b \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; le hace corresponder la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; en dicho punto. Esta función se designa por &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es '''''derivable''''' en el intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
&nbsp; si lo es en cada punto del intervalo.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Llamamos '''''derivada de segundo orden''''' de &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
\mathrm{f}
-
\, - \, x_1} \ge 0
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; a la función derivada de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
 +
</math>.
 +
Esta función se denota por &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Función estrictamente decreciente en un intervalo==
+
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la '''''derivada tercera''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; y, en general, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la '''''derivada n-ésima''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>: &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la función derivada de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =significado geométrico de la derivada
 +
 
 +
Consideremos la grafica de una función &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''estrictamente decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
. Tomemos un punto &nbsp;
<math>
<math>
 +
A \, = \,
\left(
\left(
-
\, a, \, b \,
+
\, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; en la grafica de &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y que cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n \to \infty
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n \to A
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
La recta que pasa por los puntos &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
A
-
\, - \, x_1} < 0
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>
 +
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>. Sea &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y por &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>
 +
.
<br/>
<br/>
-
&nbsp;
+
<center>
 +
[[Imagen:tangente.png]]
 +
</center>
<br/>
<br/>
 +
Cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>, &nbsp;
 +
<math>
 +
t
 +
</math>:
 +
 +
<br/>
 +
<center>
<center>
-
[[Imagen:funcion5.png]]
+
<math>
 +
s_n \to t
 +
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Cuando en la grafica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha
+
Habria de esperar, pues, que la pendiente de &nbsp;
-
tambien nos movemos hacia abajo:
+
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
t
 +
</math>
 +
&nbsp; cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>. Como la pendiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación
 +
media]]:
 +
 
 +
<br/>
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_2 > x_1 \Rightarrow
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
-
\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
+
\right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</math>
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
(<math>
 +
A_{n,x} \, =
 +
</math>
 +
&nbsp; abcisa de &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>)
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
su limite cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
n \to \infty
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
+
&nbsp; en &nbsp;
<math>
<math>
-
h
+
A_x
 +
</math>; es decir la pendiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
t
</math>
</math>
-
&nbsp; tal que &nbsp;
+
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
 
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el intervalo &nbsp;
+
&nbsp; en &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
A_x
-
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
+
-
\right)
+
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
 +
 
 +
__TOC__
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada de la suma==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la suma de dos funciones es
 +
igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada de la diferencia==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la diferencia de dos funciones es
 +
igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada del producto==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del producto de dos funciones,
 +
&nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
\mathrm{g}
 +
</math>
 +
, viene dada por la fórmula:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada del cociente==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del cociente &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{f}{g}
 +
</math>
 +
&nbsp; viene dada por la fórmula:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \frac{f}{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =composición de funciones
 +
 
 +
El componer dos funciones &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
</math>
</math>
&nbsp; y &nbsp;
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{g}
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; consiste en aplicar &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
g
</math>
</math>
-
, entonces &nbsp;
+
&nbsp; al resultado de calcular &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
</math>.
+
</math>
 +
, es decir:
<br/>
<br/>
-
==Función decreciente en un intervalo==
+
<center>
 +
<math>
 +
R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R
 +
</math>
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
 
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
 +
\left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
 
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; viene dada por la fórmula:
 +
 
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<br/>
 +
 
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<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
resultado que se conoce como '''''regla de la cadena'''''.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Ejemplo==
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 +
<br/>
 +
 
 +
Calculemos la derivada de
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
&nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{h}
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
&nbsp; es la composición de dos funciones:
 +
 
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<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{rcl}
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2
 +
\\
 +
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right)
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Es decir
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Para derivar &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; utilizamos la regla de la cadena:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Como
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{rcl}
 +
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x
 +
\\
 +
\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
se tiene que
<br/>
<br/>
Línea 276: Línea 793:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
-
\, - \, x_1} \le 0
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
 +
\, x^2 \, \right) \cdot 2x
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 01:38 15 ene 2007

La derivada de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
x \, = \, a
,   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre> \, a \,
</pre>
<p>\right)
, si existe, es el valor del limite:



\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</pre>
<p>.


Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  es un número real, la función   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x \, = \, a
. Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  no es un número real o el límite no existe, la función   
\mathrm{f}
  no es derivable en dicho punto.


Ejemplo


Calculemos la derivada de   
\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, x^2 
  en   
x \, = \, 2
:



\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
</pre>
<p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,



\, = \, \lim_{h \to 0}
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
\left(
</p>
<pre>  \, h \, + 4 \, \,
\right)
\, = \, 4
</pre>
<p>


%% }}} %% {{{ =tasas de variación

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   
y
, se puede ver como una función,   
\mathrm{f}
, del tiempo,   
x
; es decir:



y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   
9
  al instante   
13.4
  es:



\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4  \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9  \,
</p>
<pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
</pre>
<p>


En general, la tasa de variación media de la función   
\mathrm{f}
  en   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
  se define como el cociente:



\frac{\mathrm{f} \left( \, b  \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a  \,
</p>
<pre> \right)}{b \, - \, a}
</pre>
<p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
  se obtiene haciendo tender   
b
  a   
a
  en la tasa de variación media de la función   
f
  en el intervalo   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
  es



\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
.


NOTA: En el límite anterior   
b \, = \, a \, + \, h
.


%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales

Imagen:tablaDeDerivadas.png

%% }}} %% {{{ =función derivada

Si   
\mathrm{f}
  es una función derivable en el intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
\right)
\subset R
</pre>
<p> , la función derivada de   
\mathrm{f}
  es la que a cada   
x \in
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  le hace corresponder la derivada de   
\mathrm{f}
  en dicho punto. Esta función se designa por   
\mathrm{f}^\prime \left( \, x  \, \right)
.


Una función   
\mathrm{f}
  es derivable en el intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  si lo es en cada punto del intervalo.


Llamamos derivada de segundo orden de   
\mathrm{f}
  a la función derivada de   
\mathrm{f}^\prime 
. Esta función se denota por   
\mathrm{f}^{\prime \prime}
.



\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
  es la derivada tercera de   
\mathrm{f}
  y, en general,   
\mathrm{f}^{\left( \, n  \, \right)}
  es la derivada n-ésima de   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
:   
\mathrm{f}^{\left( \, n  \, \right)}
  es la función derivada de   
\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
.


%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada

Consideremos la grafica de una función   
\mathrm{f}
. Tomemos un punto   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x  \, \right) \,
</pre>
<p>\right)
  en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
  en la grafica de   
\mathrm{f}
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   
A
  y que cuando   
n \to \infty
,   
A_n \to A 
.


La recta que pasa por los puntos   
A
  y   
A_n
  es una secante a la grafica de la función   
\mathrm{f}
. De esta forma, hay una secante para cada punto   
A_n
. Sea   
s_n
  la recta que pasa por   
A
  y por   
A_n
.


Imagen:tangente.png


Cuando   
n
  tiende a   
\infty
,   
s_n
  tiende a la tangente a la grafica de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
A
,   
t
:



s_n \to t


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   
s_n
  tienda a la pendiente de   
t
  cuando   
n
  tiende a   
\infty
. Como la pendiente de   
s_n
  es una tasa de variación media:



\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
</p>
<pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</pre>
<p>


(
A_{n,x} \, = 
  abcisa de   
A_n
)


su limite cuando   
n \to \infty
  es una tasa de variación instantánea, la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
; es decir la pendiente de   
t
  es la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.


%% }}} %% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones

Tabla de contenidos



Derivada de la suma


La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:



\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,


Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.


Derivada de la diferencia


La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:



\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,


Derivada del producto


La derivada del producto de dos funciones,   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
, viene dada por la fórmula:



\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,


Derivada del cociente


La derivada del cociente   
\frac{f}{g}
  viene dada por la fórmula:



\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}


%% }}} %% {{{ =composición de funciones

El componer dos funciones   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
  consiste en aplicar   
g
  al resultado de calcular   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
, es decir:



R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R



x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
\left(  \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \right)


La derivada de   
\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
  viene dada por la fórmula:



\left(
   \, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)


resultado que se conoce como regla de la cadena.


Ejemplo


Calculemos la derivada de



\mathrm{h} \left( \, x  \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2  \, \right)


  
\mathrm{h}
  es la composición de dos funciones:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, & = & \, x^2
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x  \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x  \, \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Es decir



\mathrm{h} \left( \, x  \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


Para derivar   
\mathrm{h} \left( \, x  \, \right)
  utilizamos la regla de la cadena:



</p>
<pre> \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
</pre>
<p>


Como



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x 
   \\
   \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x  \, \right)  
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


se tiene que



\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
 \, x^2 \, \right) \cdot 2x 
</pre>
<p>


   
 
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