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Conceptos básicos: espacios vectoriales

De Wikillerato

En el plano, un vector fijo \,  \stackrel{\longleftarrow}{PQ} \, es un segmento orientado de origen \,  P \, y extremo \,  Q , \, que tiene las siguientes caracteristicas:


 \bullet Módulo: longitud del segmento \,  PQ .


 \bullet Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.


 \bullet Sentido: el que va del origen al extremo.


Los vectores \,  \stackrel{\longleftarrow}{PQ} \, y \,  \stackrel{\longleftarrow}{QP}
\, tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores \,  \stackrel{\longleftarrow}{PQ} \, y \,  \stackrel{\longleftarrow}{QP}
\, son opuestos.


El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si \,  \vec{u} \, es un vector libre y \,  O \, es un punto del plano, existe un único punto \,  P \, tal que \,  \vec{u} = \stackrel{\longleftarrow}{OP} .


Un sistema de referencia esta formado por dos rectas \,  OX \, y \,  OY , \, llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto \,  O , \, origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.


Para representar un punto \,  P \, del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan dese \,  P \, perpendiculares a los ejes, obteniendo \,  P_1 \, y \, 
P_2 . \, Si la distancia de \,  P_1 \, a \,  O \, es \,  x_1 , \, y la de \, 
P_2 \, a \,  O \, es \,  y_1 , \, entonces \,  x_1 \, e \,  y_1 \, reciben el nombre de coordenadas del punto \,  P . \, Se escribe \, 
P = 
\left(
</p>
<pre> \, x_1, \, y_1 \,
</pre>
<p>\right)
, \, siendo \,  x_1 \, la abcisa e \,  y_1 \, la ordenada.


Conocidas las coordenadas del origen \, 
A = 
\left(
</p>
<pre> \, x_1, \, y_1 \,
</pre>
<p>\right)
\, y del extremo \, 
B = 
\left(
</p>
<pre> \, x_2, \, y_2 \,
</pre>
<p>\right)
\, de un vector fijo

   
 
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