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Conceptos básicos: espacios vectoriales

De Wikillerato

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Línea 1: Línea 1:
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==Vectores en el plano==
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En el plano, un vector fijo &nbsp;
En el plano, un vector fijo &nbsp;
<math>
<math>
Línea 15: Línea 19:
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\bullet
+
style = 'color:#00aa00'>
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&bull;
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</span>
&nbsp; Módulo: longitud del segmento &nbsp;
&nbsp; Módulo: longitud del segmento &nbsp;
<math>
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Línea 25: Línea 30:
<br/>
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\bullet
+
style = 'color:#00aa00'>
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+
&bull;
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&nbsp; Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
&nbsp; Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
<br/>
<br/>
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<span
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\bullet
+
style = 'color:#00aa00'>
-
</math>
+
&bull;
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</span>
&nbsp; Sentido: el que va del origen al extremo.
&nbsp; Sentido: el que va del origen al extremo.
Línea 107: Línea 114:
</math>
</math>
&nbsp; del plano en un sistema de coordenadas cartesiano
&nbsp; del plano en un sistema de coordenadas cartesiano
-
se trazan dese &nbsp;
+
se trazan desde &nbsp;
<math>
<math>
P
P
Línea 157: Línea 164:
. &nbsp; Se escribe &nbsp;
. &nbsp; Se escribe &nbsp;
<math>
<math>
-
P =
+
P \, = \,
\left(
\left(
\, x_1, \, y_1 \,
\, x_1, \, y_1 \,
Línea 176: Línea 183:
Conocidas las coordenadas del origen &nbsp;
Conocidas las coordenadas del origen &nbsp;
<math>
<math>
-
A =
+
A \, = \,
\left(
\left(
\, x_1, \, y_1 \,
\, x_1, \, y_1 \,
Línea 183: Línea 190:
&nbsp; y del extremo &nbsp;
&nbsp; y del extremo &nbsp;
<math>
<math>
-
B =
+
B \, = \,
\left(
\left(
\, x_2, \, y_2 \,
\, x_2, \, y_2 \,
Línea 199: Línea 206:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\stackrel{\longrightarrow}{AB} =
+
\stackrel{\longrightarrow}{AB} \, = \,
\left(
\left(
-
\, x_2 - x_1, \, y_2 - y_1 \,
+
\, x_2 \, - \, x_1, \, y_2 \, - \, y_1 \,
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 222: Línea 229:
&nbsp; dos vectores libres, se define el vector suma &nbsp;
&nbsp; dos vectores libres, se define el vector suma &nbsp;
<math>
<math>
-
\vec{\mathbf{u}} + \vec{\mathbf{v}}
+
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}
</math>
</math>
&nbsp; como otro vector obtenido de la siguiente forma:
&nbsp; como otro vector obtenido de la siguiente forma:
Línea 228: Línea 235:
<br/>
<br/>
-
1. Se se&ntilde;ala un punto &nbsp;
+
 
 +
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
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1.
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</span>
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Se se&ntilde;ala un punto &nbsp;
<math>
<math>
O
O
Línea 244: Línea 256:
<br/>
<br/>
-
2. Por el extremo &nbsp;
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
2.
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</span>
 +
Por el extremo &nbsp;
<math>
<math>
P
P
Línea 255: Línea 271:
<br/>
<br/>
-
3. El vector &nbsp;
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
3.
 +
</span>
 +
El vector &nbsp;
<math>
<math>
\stackrel{\longrightarrow}{OQ}
\stackrel{\longrightarrow}{OQ}
Línea 269: Línea 289:
&nbsp; ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma &nbsp;
&nbsp; ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma &nbsp;
<math>
<math>
-
\vec{u} + \vec{v}
+
\vec{u} \, + \, \vec{v}
</math>
</math>
.
.
Línea 275: Línea 295:
<br/>
<br/>
 +
<center>
[[Imagen:sumaVectores.gif]]
[[Imagen:sumaVectores.gif]]
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</center>
<br/>
<br/>
Línea 283: Línea 305:
<br/>
<br/>
-
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+
<span
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$ \bullet $
+
style = 'color:#00aa00'>
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&bull;
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&nbsp; Asosiativa: &nbsp;
+
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&nbsp; Asociativa: &nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, \vec{\mathbf{u}} + \vec{\mathbf{v}} \,
+
\, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \,
\right)
\right)
-
+ \vec{\mathbf{w}} =
+
\, + \, \vec{\mathbf{w}} \, = \,
-
\vec{\mathbf{u}} +
+
\vec{\mathbf{u}} \, + \,
\left(
\left(
-
\, \vec{\mathbf{v}} + \vec{\mathbf{w}} \,
+
\, \vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{w}} \,
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 300: Línea 323:
<br/>
<br/>
-
<math>
+
<span
-
$ \bullet $
+
style = 'color:#00aa00'>
-
</math>
+
&bull;
 +
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&nbsp; El vector nulo es &nbsp;
&nbsp; El vector nulo es &nbsp;
<math>
<math>
Línea 309: Línea 333:
, &nbsp; pues: &nbsp;
, &nbsp; pues: &nbsp;
<math>
<math>
-
\vec{\mathbf{u}} + \vec{\mathbf{0}} = \vec{\mathbf{0}} + \vec{\mathbf{u}} =
+
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{0}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \,
\vec{\mathbf{u}}
\vec{\mathbf{u}}
</math>
</math>
 +
. Dado un punto cualquiera &nbsp;
 +
<math>
 +
P
 +
</math>
 +
, el vector &nbsp;
 +
<math>
 +
\stackrel{\longrightarrow}{PP}
 +
</math>
 +
&nbsp; es un representante del vector libre &nbsp;
 +
<math>
 +
\vec{\mathbf{0}}
 +
</math>
 +
.
<br/>
<br/>
-
<math>
+
<span
-
$ \bullet $
+
style = 'color:#00aa00'>
-
</math>
+
&bull;
 +
</span>
&nbsp; El vector opuesto de &nbsp;
&nbsp; El vector opuesto de &nbsp;
<math>
<math>
Línea 328: Línea 366:
, &nbsp; pues: &nbsp;
, &nbsp; pues: &nbsp;
<math>
<math>
-
\vec{\mathbf{u}} + \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) = \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) +
+
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) \, = \, \left(
-
\vec{\mathbf{u}} = \vec{\mathbf{0}}
+
-\vec{\mathbf{u}} \right) \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
</math>
</math>
<br/>
<br/>
-
<math>
+
<span
-
$ \bullet $
+
style = 'color:#00aa00'>
-
</math>
+
&bull;
 +
</span>
&nbsp; Conmutativa:
&nbsp; Conmutativa:
<math>
<math>
-
\vec{\mathbf{u}} + \vec{\mathbf{v}} = \vec{\mathbf{v}} + \vec{\mathbf{u}}
+
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}\, = \,\vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{u}}
</math>
</math>
Línea 360: Línea 399:
\alpha \vec{\mathbf{u}}
\alpha \vec{\mathbf{u}}
</math>
</math>
-
&nbsp; como un nuevo vector qu tiene por módulo el producto &nbsp;
+
&nbsp; como un nuevo vector que tiene por módulo el producto &nbsp;
<math>
<math>
-
\left| \, \alpha \, \right| \cdot \left| \, \vec{\mathbf{u}} \, \right|
+
\left| \, \alpha \, \right| \cdot \left| \, \vec{\mathbf{u}} \, \right|
</math>
</math>
, &nbsp; por dirección la misma de &nbsp;
, &nbsp; por dirección la misma de &nbsp;
Línea 384: Línea 423:
<br/>
<br/>
 +
<center>
[[Imagen:numeroPorVector.gif]]
[[Imagen:numeroPorVector.gif]]
 +
</center>
El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:
El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:
Línea 394: Línea 435:
\alpha
\alpha
\left(
\left(
-
\, \vec{\mathbf{u}} + \vec{\mathbf{v}} \,
+
\, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \,
\right)
\right)
-
= \alpha \vec{\mathbf{u}} + \alpha \mathbf{v}
+
\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \alpha \vec{\mathbf{v}}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 405: Línea 446:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, \alpha + \mu \,
+
\, \alpha \, + \, \mu \,
\right)
\right)
\vec{\mathbf{u}}
\vec{\mathbf{u}}
-
= \alpha \vec{\mathbf{u}} + \mu \vec{\mathbf{u}}
+
\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{u}}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 416: Línea 457:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
1 \cdot \vec{\mathbf{u}} = \vec{\mathbf{u}}
+
1 \cdot \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 427: Línea 468:
\left(
\left(
\, \mu \vec{\mathbf{u}} \,
\, \mu \vec{\mathbf{u}} \,
-
\right) =
+
\right) \, = \,
\left(
\left(
\, \alpha \mu \,
\, \alpha \mu \,
Línea 439: Línea 480:
Además, si &nbsp;
Además, si &nbsp;
<math>
<math>
-
\alpha \vec{\mathbf{u}} = \vec{\mathbf{0}}
+
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
</math>
</math>
-
, &nbsp; se verifica que &nbsp;
+
, &nbsp; se verifica que, o bien &nbsp;
<math>
<math>
-
\alpha = 0
+
\alpha \, = \, 0
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
&nbsp; o bien &nbsp;
<math>
<math>
-
\vec{\mathbf{u}} = \vec{\mathbf{0}}
+
\vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
</math>
</math>
.
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Un '''''espacio vectorial''''' es un conjunto ( de vectores ) donde se define una operacion suma y una
 +
operacion producto por un numero real y estas operaciones satisfacen las propiedades de la
 +
suma y producto por un numero real que hemos visto en el conjunto de los vectores libres
 +
del plano.
 +
 +
<br/>
 +
 +
De hecho, en la definicion de espacio vectorial que acabamos de ver los numeros reales
 +
pueden ser sustituidos por otro conjunto, como el conjunto de los numeros complejos, pero
 +
a nivel de bachillerato ( wikillerato ) nos centraremos en los numeros reales.
 +
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<br/>
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====Ejemplo====
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<br/>
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El conjunto &nbsp;
 +
<math>
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R^3
 +
</math>
 +
&nbsp; se define como el conjunto de ternas &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, x, \, y, \, z \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de números reales. En &nbsp;
 +
<math>
 +
R^3
 +
</math>
 +
&nbsp; se definen la suma y el producto por un número real así:
 +
 +
<br/>
 +
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<span
 +
style= 'color:#00AA00'>
 +
1.
 +
<span>
 +
Suma:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, x_1, \, y_1, \, z_1 \,
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\left(
 +
\, x_2, \, y_2, \, z_2 \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\left(
 +
\, x_1 \, + \, x_2, \, y_1 \, + \, y_2, \, z_1 \, + \, z_2 \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<span
 +
style= 'color:#00AA00'>
 +
2.
 +
<span>
 +
Producto por un número real:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\alpha
 +
\left(
 +
\, x, \, y, \, z \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\left(
 +
\, \alpha x, \, \alpha y, \, \alpha z \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
El conjunto &nbsp;
 +
<math>
 +
R^3
 +
</math>
 +
&nbsp; con estas operaciones es un espacio vectorial.
 +
 +
<br/>
 +
 +
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Vectores en el plano


En el plano, un vector fijo   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}
  es un segmento orientado de origen   
P
  y extremo   
Q
,   que tiene las siguientes caracteristicas:


  Módulo: longitud del segmento   
PQ
.


  Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.


  Sentido: el que va del origen al extremo.


Los vectores   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}
  y   
\stackrel{\longrightarrow}{QP}
  tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}
  y   
\stackrel{\longrightarrow}{QP}
  son opuestos.


El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si   
\vec{u}
  es un vector libre y   
O
  es un punto del plano, existe un único punto   
P
  tal que   
\vec{u} \, = \, \stackrel{\longrightarrow}{OP}
.


Componentes de un vector


Un sistema de referencia esta formado por dos rectas   
OX
  y   
OY
,   llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto   
O
,   origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.


Para representar un punto   
P
  del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan desde   
P
  perpendiculares a los ejes, obteniendo   
P_1
  y   
P_2
.   Si la distancia de   
P_1
  a   
O
  es   
x_1
,   y la de   
P_2
  a   
O
  es   
y_1
,   entonces   
x_1
  e   
y_1
  reciben el nombre de coordenadas del punto   
P
.   Se escribe   
P \, = \,
\left(
</p>
<pre>\, x_1, \, y_1 \,
</pre>
<p>\right)
,   siendo   
x_1
  la abcisa e   
y_1
  la ordenada.


Conocidas las coordenadas del origen   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, x_1, \, y_1 \, 
</pre>
<p>\right)
  y del extremo   
B \, = \,
\left(
</p>
<pre>\, x_2, \, y_2 \,
</pre>
<p>\right)
  de un vector fijo   
\stackrel{\longrightarrow}{AB}
,   se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:



\stackrel{\longrightarrow}{AB} \, = \, 
\left(
</p>
<pre>  \, x_2 \, - \, x_1, \, y_2 \, - \, y_1 \,
</pre>
<p>\right)


Suma de vectores


Sean   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
  dos vectores libres, se define el vector suma   
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}
  como otro vector obtenido de la siguiente forma:



1. Se señala un punto   
O
  del plano y se traza el vector   
\stackrel{\longrightarrow}{OP}
  representante de   
\vec{\mathbf{u}}
.


2. Por el extremo   
P
  se traza el vector   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}


3. El vector   
\stackrel{\longrightarrow}{OQ}
  que tiene como origen   
O
  ( origen del primero ) y como extremo   
Q
  ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma   
\vec{u} \, + \, \vec{v}
.


Imagen:sumaVectores.gif


La suma tiene las siguientes propiedades:


  Asociativa:   
\left(
</p>
<pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \,
</pre>
<p>\right)
\, + \, \vec{\mathbf{w}} \, = \, 
\vec{\mathbf{u}} \, + \, 
\left(
</p>
<pre> \, \vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{w}} \,
</pre>
<p>\right)


  El vector nulo es   
\vec{\mathbf{0}}
,   pues:   
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{0}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, 
\vec{\mathbf{u}}
. Dado un punto cualquiera   
P
, el vector   
\stackrel{\longrightarrow}{PP}
  es un representante del vector libre   
\vec{\mathbf{0}}
.


  El vector opuesto de   
\vec{\mathbf{v}}
  es   
-\vec{\mathbf{v}}
,   pues:   
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) \, = \, \left(
</p>
<pre> -\vec{\mathbf{u}} \right) \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
</pre>
<p>


  Conmutativa: 
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}\, = \,\vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{u}}


Producto de un número real por un vector


Si   
\vec{\mathbf{u}} 
  es un vector libre y   
\alpha
  un número real, se define el producto   
\alpha \vec{\mathbf{u}} 
  como un nuevo vector que tiene por módulo el producto   
\left| \, \alpha \, \right| \cdot \left| \, \vec{\mathbf{u}} \, \right| 
,   por dirección la misma de   
\vec{\mathbf{u}} 
  y sentido el mismo de   
\vec{\mathbf{u}} 
  si   
\alpha
  es positivo, y opuesto, si   
\alpha
  es negativo.


Imagen:numeroPorVector.gif

El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:



\alpha
\left(
</p>
<pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \alpha \vec{\mathbf{v}}
</pre>
<p>



\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \, \mu \,
</pre>
<p>\right)
\vec{\mathbf{u}}
</p>
<pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{u}} 
</pre>
<p>



1 \cdot \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}



\alpha
\left(
</p>
<pre>  \, \mu \vec{\mathbf{u}} \,
</pre>
<p>\right) \, = \, 
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \mu \,
</pre>
<p>\right)
\vec{\mathbf{u}}


Además, si   
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
,   se verifica que, o bien   
\alpha \, = \, 0
  o bien   
\vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
.


Un espacio vectorial es un conjunto ( de vectores ) donde se define una operacion suma y una
operacion producto por un numero real y estas operaciones satisfacen las propiedades de la
suma y producto por un numero real que hemos visto en el conjunto de los vectores libres
del plano.


De hecho, en la definicion de espacio vectorial que acabamos de ver los numeros reales pueden ser sustituidos por otro conjunto, como el conjunto de los numeros complejos, pero a nivel de bachillerato ( wikillerato ) nos centraremos en los numeros reales.


Ejemplo


El conjunto   
R^3
  se define como el conjunto de ternas   
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \, 
</pre>
<p>\right)
  de números reales. En   
R^3
  se definen la suma y el producto por un número real así:


1. Suma:



\left(
</p>
<pre> \, x_1, \, y_1, \, z_1 \,
</pre>
<p>\right)
\, + \, 
\left(
</p>
<pre> \, x_2, \, y_2, \, z_2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, x_1 \, + \, x_2, \, y_1 \, + \, y_2, \, z_1 \, + \, z_2 \,
</pre>
<p>\right)


2. Producto por un número real:



\alpha
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, \alpha x, \, \alpha y, \, \alpha z \, 
</pre>
<p>\right)


El conjunto   
R^3
  con estas operaciones es un espacio vectorial.


   
 
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