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Conceptos básicos: espacios vectoriales

De Wikillerato

En el plano, un vector fijo   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}
  es un segmento orientado de origen   
P
  y extremo   
Q
,   que tiene las siguientes caracteristicas:



\bullet
  Módulo: longitud del segmento   
PQ
.



\bullet
  Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.



\bullet
  Sentido: el que va del origen al extremo.


Los vectores   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}
  y   
\stackrel{\longrightarrow}{QP}
  tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}
  y   
\stackrel{\longrightarrow}{QP}
  son opuestos.


El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si   
\vec{u}
  es un vector libre y   
O
  es un punto del plano, existe un único punto   
P
  tal que   
\vec{u} \, = \, \stackrel{\longrightarrow}{OP}
.


Componentes de un vector


Un sistema de referencia esta formado por dos rectas   
OX
  y   
OY
,   llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto   
O
,   origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.


Para representar un punto   
P
  del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan dese   
P
  perpendiculares a los ejes, obteniendo   
P_1
  y   
P_2
.   Si la distancia de   
P_1
  a   
O
  es   
x_1
,   y la de   
P_2
  a   
O
  es   
y_1
,   entonces   
x_1
  e   
y_1
  reciben el nombre de coordenadas del punto   
P
.   Se escribe   
P \, = \,
\left(
</p>
<pre>\, x_1, \, y_1 \,
</pre>
<p>\right)
,   siendo   
x_1
  la abcisa e   
y_1
  la ordenada.


Conocidas las coordenadas del origen   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, x_1, \, y_1 \, 
</pre>
<p>\right)
  y del extremo   
B \, = \,
\left(
</p>
<pre>\, x_2, \, y_2 \,
</pre>
<p>\right)
  de un vector fijo   
\stackrel{\longrightarrow}{AB}
,   se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:



\stackrel{\longrightarrow}{AB} \, = \, 
\left(
</p>
<pre>  \, x_2 \, - \, x_1, \, y_2 \, - \, y_1 \,
</pre>
<p>\right)


Suma de vectores


Sean   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
  dos vectores libres, se define el vector suma   
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}
  como otro vector obtenido de la siguiente forma:


1. Se señala un punto   
O
  del plano y se traza el vector   
\stackrel{\longrightarrow}{OP}
  representante de   
\vec{\mathbf{u}}
.


2. Por el extremo   
P
  se traza el vector   
\stackrel{\longrightarrow}{PQ}


3. El vector   
\stackrel{\longrightarrow}{OQ}
  que tiene como origen   
O
  ( origen del primero ) y como extremo   
Q
  ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma   
\vec{u} \, + \, \vec{v}
.


Imagen:sumaVectores.gif


La suma tiene las siguientes propiedades:



$ \bullet $ 
  Asosiativa:   
\left(
</p>
<pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \,
</pre>
<p>\right)
\, + \, \vec{\mathbf{w}} \, = \, 
\vec{\mathbf{u}} \, + \, 
\left(
</p>
<pre> \, \vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{w}} \,
</pre>
<p>\right)



$ \bullet $
  El vector nulo es   
\vec{\mathbf{0}}
,   pues:   
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{0}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, 
\vec{\mathbf{u}}



$ \bullet $ 
  El vector opuesto de   
\vec{\mathbf{v}}
  es   
-\vec{\mathbf{v}}
,   pues:   
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) \, = \, \left(
</p>
<pre> -\vec{\mathbf{u}} \right) \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
</pre>
<p>



$ \bullet $ 
  Conmutativa: 
\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}\, = \,\vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{u}}


Producto de un número real por un vector


Si   
\vec{\mathbf{u}} 
  es un vector libre y   
\alpha
  un número real, se define el producto   
\alpha \vec{\mathbf{u}} 
  como un nuevo vector que tiene por módulo el producto   
\left| \, \alpha \, \right| \cdot \left| \, \vec{\mathbf{u}} \, \right| 
,   por dirección la misma de   
\vec{\mathbf{u}} 
  y sentido el mismo de   
\vec{\mathbf{u}} 
  si   
\alpha
  es positivo, y opuesto, si   
\alpha
  es negativo.


Imagen:numeroPorVector.gif

El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:



\alpha
\left(
</p>
<pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \alpha \vec{\mathbf{v}}
</pre>
<p>



\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \, \mu \,
</pre>
<p>\right)
\vec{\mathbf{u}}
</p>
<pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{u}} 
</pre>
<p>



1 \cdot \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}



\alpha
\left(
</p>
<pre>  \, \mu \vec{\mathbf{u}} \,
</pre>
<p>\right) \, = \, 
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \mu \,
</pre>
<p>\right)
\vec{\mathbf{u}}


Además, si   
\alpha \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}
,   se verifica que, o bien   
\alpha \, = \, 0
  o bien   
\vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{1}}
.


   
 
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