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Concavidad y convexidad

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Convexa


Si la derivada segunda de   
\mathrm{f}
  en   
a
  es positiva, entonces   
\mathrm{f}^\prime
  es creciente en   
a
  y   
\mathrm{f}
  es convexa en   
a
.


 


Imagen:convexa.gif


Concavidad


Si la derivada segunda de   
\mathrm{f}
  en   
a
  es negativa, entonces   
\mathrm{f}^\prime
  es decreciente en   
a
  y   
\mathrm{f}
  es concava en   
a
.


 


Imagen:concava.gif


Puntos de inflexión


Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser concava a convexa o viceversa.


La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).


 


Imagen:funcion3.png


Si   
x_0
  es un punto de inflexión de   
\mathrm{f}
, entonces   
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
, pero lo reciproco no es cierto en general:



\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
  no implica que   
x_0
  sea un punto de inflexión de   
\mathrm{f}
.


Ejemplo


La derivada segunda de la función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, x^4
  se anula en   
x \, = \, 0
  pero   
\mathrm{f}
  no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   
x \, = \, 0
.   
\mathrm{f}
  es covexa en todo su dominio ( R ).


Ejemplo


La derivada segunda de la función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, x^3
  se anula en   
x \, = \, 0
.



\mathrm{f}
  tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   
x \, = \, 0
  porque 
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x  \, \right) \, = \, 6x
  cambia de signo en   
x \, = \, 0
:


si   
x < 0
  entonces   
\mathrm{f}^{\prime \prime}
  es negativa (   
\mathrm{f}
  es concava )   y si   
x > 0
  entonces     
\mathrm{f}^{\prime \prime}
  es positiva (   
\mathrm{f}
  es convexa ).


   
 
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