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Concavidad y convexidad

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:28 11 abr 2011) (editar) (deshacer)
 
(21 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 40: Línea 40:
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==Concava==
+
==Concavidad==
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Línea 64: Línea 64:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''concava''''' en &nbsp;
+
&nbsp; es '''''cóncava''''' en &nbsp;
<math>
<math>
a
a
Línea 79: Línea 79:
</center>
</center>
-
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+
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==Puntos de inflexión==
==Puntos de inflexión==
Línea 85: Línea 85:
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-
Un '''''punto de inflexion''''' es un punto donde la función pasa de ser concava a convexa o viceversa.
+
Un '''''punto de inflexion''''' es un punto donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.
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Línea 175: Línea 175:
<math>
<math>
x \, = \, 0
x \, = \, 0
-
</math>
+
</math>.
-
.
+
 
 +
<br/>
 +
 
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<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
Línea 186: Línea 188:
&nbsp; porque
&nbsp; porque
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^{\prime \prime} \, = \, 6x
+
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x
</math>
</math>
&nbsp; cambia de signo en &nbsp;
&nbsp; cambia de signo en &nbsp;
Línea 192: Línea 194:
x \, = \, 0
x \, = \, 0
</math>:
</math>:
 +
 +
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si &nbsp;
si &nbsp;
<math>
<math>
-
x > 0
+
x < 0
</math>
</math>
-
&nbsp; \mathrm{f}{\prime \prime}&nbsp; es negativa ( &nbsp;
+
&nbsp; entonces &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 +
</math>
 +
&nbsp; es negativa ( &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es concava ) y si &nbsp;
+
&nbsp; es concava ) &nbsp; y si &nbsp;
<math>
<math>
x > 0
x > 0
</math>
</math>
-
&nbsp; \mathrm{f}{\prime \prime}&nbsp; es positiva ( &nbsp;
+
&nbsp; entonces &nbsp; &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 +
</math>
 +
&nbsp; es positiva ( &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Convexidad


Si la derivada segunda de   
\mathrm{f}
  en   
a
  es positiva, entonces   
\mathrm{f}^\prime
  es creciente en   
a
  y   
\mathrm{f}
  es convexa en   
a
.


 


Imagen:convexa.gif


Concavidad


Si la derivada segunda de   
\mathrm{f}
  en   
a
  es negativa, entonces   
\mathrm{f}^\prime
  es decreciente en   
a
  y   
\mathrm{f}
  es cóncava en   
a
.


 


Imagen:concava.gif


Puntos de inflexión


Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.


La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).


 


Imagen:funcion3.png


Si   
x_0
  es un punto de inflexión de   
\mathrm{f}
, entonces   
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
, pero lo reciproco no es cierto en general:



\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
  no implica que   
x_0
  sea un punto de inflexión de   
\mathrm{f}
.


Ejemplo


La derivada segunda de la función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, x^4
  se anula en   
x \, = \, 0
  pero   
\mathrm{f}
  no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   
x \, = \, 0
.   
\mathrm{f}
  es covexa en todo su dominio ( R ).


Ejemplo


La derivada segunda de la función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, x^3
  se anula en   
x \, = \, 0
.



\mathrm{f}
  tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa   
x \, = \, 0
  porque 
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x  \, \right) \, = \, 6x
  cambia de signo en   
x \, = \, 0
:


si   
x < 0
  entonces   
\mathrm{f}^{\prime \prime}
  es negativa (   
\mathrm{f}
  es concava )   y si   
x > 0
  entonces     
\mathrm{f}^{\prime \prime}
  es positiva (   
\mathrm{f}
  es convexa ).


   
 
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