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Cálculo de áreas y volúmenes

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Tabla de contenidos

Cálculo del área entre las graficas de dos funciones


Supongamos que nos dan dos funciones   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.



El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   
\mathrm{h}  \left( \,  x  \,  \right) :=  \mathrm{f}  \left( \,  x  \, \right)  -
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función 
\mathrm{h} 
  y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


En primer lugar resolvemos la ecuación:


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0

para obtener 
n
soluciones   
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
  con


x_1 < x_2 < \ldots < x_n

A continuacion, buscamos una primitiva    \mathrm{H}  \left( \, x \,
\right)    de     \mathrm{h}  \left( \,  x \,  \right)
.


Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:


\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_2 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
   \, x_n \, \right) \, \right|
</pre>
<p>

donde   
\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_i \, \right) \, \right|
</pre>
<p>   es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = x_{i-1}
,   
x = x_i
,   la grafica de la función 
\mathrm{f}
y la grafica de la función 
\mathrm{g}
.


Ejemplo


Calculemos el área comprendida entre las graficas de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3
  y   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x
.


El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   
\mathrm{h}  \left( \,  x  \,  \right) :=  \mathrm{f}  \left( \,  x  \, \right)  -
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x
  y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función 
\mathrm{h} 
  y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


  1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x

para obtener 3 soluciones   
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
.

  1. 2 Una primitiva   
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
  de   
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
  es

    
\mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}


    1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:

    
\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_2 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_3 \, \right) \, \right| =
</pre>
<p>

    
\left| \, \mathrm{H} \left(  \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, 0 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, 1 \, \right) \, \right| =
</pre>
<p>

    
</p>
<pre>= \left|  \,  \frac{\left(  \,  -1  \,  \right)^4}{4}  -  \frac{\left(  \,  -1  \,
   \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
   \right)^2}{2} \, \right) \right| +
</pre>
<p>\left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
</p>
<pre>   \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 1 \,
   \right)^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2}
</pre>
<p>


    Volumen de un cuerpo de revolución


    Al girar un trozo de la grafica de una función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
  alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.



    Si dividimos el intervalo   
\left[ \, a, \, b \, \right]
  en 
n
subintervalos iguales, entonces podemos aproximar el area del cuerpo de revolución por

    
\sum_{i=1}^n \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

    donde   
x_i
  es el limite superior y  
x_{i-1}
  es el limite inferior del i-esimo subintervalo.



    El producto

    
\pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

    es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X y cuyas bases estan en los planos de ecuación  
x = x_{i-1}
  y   
x = x_i
,  respectivamente.


    Notese que   
x_i - x_{i-1} = \frac{b - a}{n}
  y que   
x_n = b, \, x_0 = a
.


    Para cada   
i = 1, \, 2, \, \ldots n 
  tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender 
n
a 
\infty
obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral

    .

    
\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


    Ejemplo


    Consideremos el cuerpo de revolución formado por la función constante

    
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5

    Al hacer girar el trozo de la grafica de 
\mathrm{f}
entre   
x = 0
  y   
x = 7
  ontenemos un cuerpo de revoluci\'on ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).


    Utilizando la formula anterior se llega a que

    
\text{Volumen} =  \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2  \left( \, x  \, \right) \cdot
\mathrm{d}x =  \int_0^7 \pi \cdot  5^2 \cdot \mathrm{d}x  = \pi \cdot  5^2 \cdot
\left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7

    que coincide con el resultado que se obtiene con la f\'ormula del volumen de un cilindro:

    
\text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}

       
 
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