Cálculo de áreas y volúmenes
De Wikillerato
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- | = \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 | + | = \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \right)^2}{2} - \left( \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \, \right) \right| + |
- | + | \left| \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} - \left( \, \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2} | |
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x = x_i | x = x_i | ||
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- | respectivamente y cuya altura es | + | respectivamente, y cuya altura es |
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\mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos |
Área entre las graficas de dos funciones
Supongamos que nos dan dos funciones
y
y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
funciones.
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función
y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función
y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación:
para obtener
soluciones
con
A continuacion, buscamos una primitiva de
.
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:
donde
es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones
,
,
la grafica de la función
y la grafica de la función
.
Ejemplo
Calculemos el área comprendida entre las graficas de
y
.
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función
y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función
y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación:
para obtener 3 soluciones
.
Integramos
para obtener una primitiva
de
:
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
Volumen de un cuerpo de revolución
Al girar un trozo de la grafica de una función
alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen
queremos calcular.
Si dividimos el intervalo
en
subintervalos de la misma longitud
, entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución
por
donde
es el limite superior y
es el limite inferior del i-esimo subintervalo.
El producto
es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X,
cuyas bases estan en los planos de ecuación
y
,
respectivamente, y cuya altura es
.
Notese que
y que
.
Para cada
tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos
cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos
calcular. Cuando hacemos tender
a
obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral
Ejemplo
Consideremos la función constante
. Al hacer girar el trozo de la grafica de
entre
y
obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7
).
Utilizando la formula anterior se llega a que
que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un cilindro: