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Cálculo de áreas y volúmenes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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==Cálculo del área entre dos curvasmediante integrales==
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==Área entre las graficas de dos funciones==
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&nbsp; y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
&nbsp; y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
funciones.
funciones.
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#1. En primer lugar resolvemos la ecuación:
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En primer lugar resolvemos la ecuación:
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#2 Buscamos una primitiva &nbsp; <math>
+
A continuacion, buscamos una primitiva &nbsp; <math> \mathrm{H} \left( \, x \,
-
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
+
\right) </math> &nbsp; de &nbsp; <math> \mathrm{h} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; de &nbsp;
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
+
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</math>.
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#3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la
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Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la
fórmula:
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\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
\, x_i \, \right) \, \right|
\, x_i \, \right) \, \right|
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&nbsp; es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones &nbsp;
-
es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones &nbsp;
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x = x_{i-1}
x = x_{i-1}
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x = x_i
x = x_i
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&nbsp; el eje X y la grafica de la función
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&nbsp; la grafica de la función
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\mathrm{h}
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y la grafica de la función
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\mathrm{g}
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#1. En primer lugar resolvemos la ecuación:
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En primer lugar resolvemos la ecuación:
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x
+
\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x = 0
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Línea 143: Línea 152:
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#2 Una primitiva &nbsp; <math>
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\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
+
 
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Integramos <math>
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\mathrm{h}
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&nbsp; de &nbsp; <math>
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para obtener una primitiva <math>
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{H}
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&nbsp; es
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de <math>
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\mathrm{h}
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Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
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#3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
 
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-
= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \,
+
= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \right)^2}{2} - \left( \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \, \right) \right| +
-
\right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
+
\left| \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} - \left( \, \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2}
-
\right)^2}{2} \, \right) \right| +
+
-
\left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
+
-
\right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 1 \,
+
-
\right)^2}{2} \, \right) \right| = \frac{9}{4}
+
</math>
</math>
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Línea 197: Línea 213:
&nbsp; alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen
&nbsp; alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen
queremos calcular.
queremos calcular.
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[[Imagen:volumenSolidoRevolucion.png]]
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Línea 208: Línea 230:
n
n
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subintervalos iguales, entonces podemos aproximar el area del cuerpo de revolución
+
subintervalos de la misma longitud &nbsp;
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\Delta x
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</math>, &nbsp; entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución
por
por
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Línea 219: Línea 244:
x_i
x_i
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&nbsp; es el limite superior del i-esimo subintervalo.
+
&nbsp; es el limite superior y&nbsp;
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x_{i-1}
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&nbsp; es el limite inferior del i-esimo subintervalo.
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Línea 229: Línea 264:
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-
es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X y
+
es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X,
cuyas bases estan en los planos de ecuación&nbsp;
cuyas bases estan en los planos de ecuación&nbsp;
<math>
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Línea 238: Línea 273:
x = x_i
x = x_i
</math>,&nbsp;
</math>,&nbsp;
-
respectivamente.
+
respectivamente, y cuya altura es &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x_i \, \right)
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Línea 244: Línea 282:
Notese que &nbsp;
Notese que &nbsp;
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-
x_i - x_{i-1} = \frac{b - a}{n}
+
x_i - x_{i-1} = \Delta x = \frac{b - a}{n}
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&nbsp; y que &nbsp;
&nbsp; y que &nbsp;
Línea 267: Línea 305:
\infty
\infty
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-
obtenemos el volumen del cuerpo dense revolución que coicide con la siguiente integral
+
obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral
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Línea 273: Línea 311:
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===Ejemplo===
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Consideremos la función constante &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5
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. &nbsp; Al hacer girar el trozo de la grafica de
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\mathrm{f}
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entre &nbsp;
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x = 0
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&nbsp; y &nbsp;
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x = 7
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 +
&nbsp; obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7
 +
).
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Utilizando la formula anterior se llega a que
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 +
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 +
\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot
 +
\mathrm{d}x = \int_0^7 \pi \cdot 5^2 \cdot \mathrm{d}x = \pi \cdot 5^2 \cdot
 +
\left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7
 +
</math>
 +
</center>
 +
que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un
 +
cilindro:
 +
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\text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}
 +
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 +
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Área entre las graficas de dos funciones


Supongamos que nos dan dos funciones   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.



El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   
\mathrm{h}  \left( \,  x  \,  \right) :=  \mathrm{f}  \left( \,  x  \, \right)  -
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función 
\mathrm{h} 
  y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


En primer lugar resolvemos la ecuación:


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0

para obtener 
n
soluciones   
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
  con


x_1 < x_2 < \ldots < x_n

A continuacion, buscamos una primitiva    \mathrm{H}  \left( \, x \,
\right)    de     \mathrm{h}  \left( \,  x \,  \right)
.


Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:



\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_2 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
   \, x_n \, \right) \, \right|
</pre>
<p>

donde   
\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_i \, \right) \, \right|
</pre>
<p>   es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = x_{i-1}
,   
x = x_i
,   la grafica de la función 
\mathrm{f}
y la grafica de la función 
\mathrm{g}
.


Ejemplo


Calculemos el área comprendida entre las graficas de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3
  y   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x
.


El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   
\mathrm{h}  \left( \,  x  \,  \right) :=  \mathrm{f}  \left( \,  x  \, \right)  -
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x
  y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función 
\mathrm{h} 
  y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


En primer lugar resolvemos la ecuación:


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x = 0

para obtener 3 soluciones   
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
.


Integramos 
\mathrm{h}
para obtener una primitiva 
\mathrm{H} 
de 
\mathrm{h} 
:



\mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}


Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:



\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_2 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_3 \, \right) \, \right| =
</pre>
<p>


\left| \, \mathrm{H} \left(  \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, 0 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, 1 \, \right) \, \right| =
</pre>
<p>


</p>
<pre>= \left|  \,  \frac{\left(  \,  -1  \,  \right)^4}{4}  -  \frac{\left(  \,  -1  \right)^2}{2} - \left( \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \, \right) \right| +
</pre>
<p>\left| \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} - \left( \, \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2}


Volumen de un cuerpo de revolución


Al girar un trozo de la grafica de una función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
  alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.


Imagen:volumenSolidoRevolucion.png


Si dividimos el intervalo   
\left[ \, a, \, b \, \right]
  en 
n
subintervalos de la misma longitud   
\Delta x
,   entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución por


\sum_{i=1}^n \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

donde   
x_i
  es el limite superior y  
x_{i-1}
  es el limite inferior del i-esimo subintervalo.



El producto


\pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X, cuyas bases estan en los planos de ecuación  
x = x_{i-1}
  y   
x = x_i
,  respectivamente, y cuya altura es   
\mathrm{f} \left( \, x_i \, \right)
.


Notese que   
x_i - x_{i-1} = \Delta x = \frac{b - a}{n}
  y que   
x_n = b, \, x_0 = a
.


Para cada   
i = 1, \, 2, \, \ldots n 
  tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender 
n
a 
\infty
obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral

.


\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo


Consideremos la función constante   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5
.   Al hacer girar el trozo de la grafica de 
\mathrm{f}
entre   
x = 0
  y   
x = 7
  obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).


Utilizando la formula anterior se llega a que


\text{Volumen} =  \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2  \left( \, x  \, \right) \cdot
\mathrm{d}x =  \int_0^7 \pi \cdot  5^2 \cdot \mathrm{d}x  = \pi \cdot  5^2 \cdot
\left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7

que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un cilindro:


\text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}


   
 
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