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Áreas de triángulos y tetraedros

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (09:07 8 nov 2010) (editar) (deshacer)
 
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==Área de un triángulo del que se conocen los vértices==
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=Área de un triángulo del que se conocen los vertices===
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\mathbf{v}
\mathbf{v}
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paralelogramo
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[[Imagen:paralelogramo.png]]
[[Imagen:paralelogramo.png]]
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El área de un triágulo es la mitad del área del paralelogramo. Por tanto:
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El área de un triángulo de vertices A, B y C
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[[Imagen:paralelogramoYTrigb.png]]
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es la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores &nbsp;
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\Vec{AB}
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&nbsp; y &nbsp;
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\vec{AC}
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\text{Area del \overset{\triangle}{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \mathbf{AC} \, \right|
+
\text{Area del triángulo } \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|
</math>
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Línea 55: Línea 76:
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<math>
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-
\frac{1}{6} \cdot \left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times
+
\left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times
\mathbf{w} \, \right) \right|
\mathbf{w} \, \right) \right|
</math>
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Línea 70: Línea 91:
\mathbf{w}
\mathbf{w}
</math>
</math>
-
es:
+
es un sexto del volumen del paralelogramo que determinan:
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Línea 77: Línea 98:
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En caso, de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos
+
En caso de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos
-
utilizar la formula anterior remplazando
+
utilizar la formula anterior para calcular su volumen reemplazando
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\mathbf{u}
\mathbf{u}
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por
+
por &nbsp;
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-
\vec{AB}
+
\Vec{AB}
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</math>,
+
</math>, &nbsp;
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\mathbf{v}
\mathbf{v}
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por
+
por &nbsp;
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\vec{AC}
\vec{AC}
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</math>,
+
</math>, &nbsp;
y
y
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\mathbf{w}
\mathbf{w}
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por
+
por &nbsp;
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\vec{AD}
\vec{AD}
</math>.
</math>.
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[[Imagen:tetraedro.position]]
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[[Imagen:tetraedro.png]]
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Área de un triángulo del que se conocen los vértices


El área de un paralelogramo determinado por dos vectores 
\mathbf{u}
y 
\mathbf{v}


Imagen:paralelogramo.png


es el módulo de su producto vectorial:


\text{Area del paralelogramo} = \left| \, \mathbf{u} \times \mathbf{v} \, \right|


El área de un triángulo de vertices A, B y C


Imagen:paralelogramoYTrigb.png


es la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores   
\Vec{AB}
  y   
\vec{AC}
:



\text{Area del triángulo } \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|


Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices


El volumen del paralepípedo determinado por tres vectores 
\mathbf{u}
. 
\mathbf{v}
y 
\mathbf{w}
es el valor absoluto del producto mixto de esos vectores:


\left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times 
</p>
<pre>   \mathbf{w} \, \right) \right|
</pre>
<p>

El volumen de un tetraedro determinado por 
\mathbf{u}
. 
\mathbf{v}
y 
\mathbf{w}
es un sexto del volumen del paralelogramo que determinan:


\frac{1}{6} \cdot \left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times 
</p>
<pre>   \mathbf{w} \, \right) \right|
</pre>
<p>

En caso de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos utilizar la formula anterior para calcular su volumen reemplazando 
\mathbf{u}
por   
\Vec{AB}
,   
\mathbf{v}
por   
\vec{AC}
,   y 
\mathbf{w}
por   
\vec{AD}
.


Imagen:tetraedro.png


   
 
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