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Área bajo la grafica de una función continua

De Wikillerato

Revisión a fecha de 10:23 11 dic 2010; Fjmolina (Discutir | contribuciones)
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Ejemplo


Sea 
\mathrm{f}
una función continua en todo su dominio 
D
y sea   
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  un intervalo incluido en su dominio, tal que 
\mathrm{f}
toma solo valores positivos en dicho intervalo   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
.


Imagen:areaBajoGrafica.png

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuacione   
x = a
  y   
x = b
,   la grafica de la función 
\mathrm{f}
y el eje X?


Este area el la integral entre 
a
y 
b
de 
\mathrm{f}
y la denotamos por:


\en that_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).


Una manera de dar una solución aproximada a esta pregunta es la siguiente:


dividimos el intervalo   
\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
  en 
n 
intervalos de la misma longitud. Los limites de estos intervalos mas pequeños son:


x_0 = a, \, x1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b

donde  
x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i
.


Para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
  contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo   
\left[ \, x_{i-1}, \, x_i \, \right]
  y cuya altura es de longitud   
\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)
.


Haciendo esto para   
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
,   terminamos con 
n 
rectangulo. La suma de sus areas es una buena aproximación al area bajo la grafica de 
\mathrm{f}
que queremos calcular.


En general, cuanto mayor sea 
n
mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
.


Así, cuando  
n = 2
  uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo   
n = 4
.


Llamemos   
S_n
  a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:


S_n \flecha{n \to \infty }{\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

   
 
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