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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

Ángulo entre una recta y un plano


El ángulo 
\alpha
que forma una recta 
r
cuyo vector director es 
\mathbf{u}
y un plano 
\pi 
cuyo ángulo normal es 
\mathbf{n}
es complementario al ángulo que forman 
r
y 
\mathbf{n}
.


Por lo tanto, se tiene que


\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) =
\frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \,  \right|}{\left| \, \mathbf{n} \,  \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}

Podemos obtener un vector director de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:


0 = x - 2y + 3z

por un vector perpendicular del plano


0 = 2x - y + 4

Un vector perpendicular al plano


0 = x - 2y + 3z

lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:


\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano


\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}
y 
\mathbf{n}^\prime
es


\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)

donde la segunda fila es 
\mathbf{n}
y la tercera es 
\mathbf{n}^\prime 
.


   
 
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