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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

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y otro mayor, que seria el suplementario de
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cuyo ángulo normal es
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\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \,
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\mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}
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es complementario al ángulo que forman
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Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
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obtiene el ángulo que forman las retas
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Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
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\frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}
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0 = & x - 2y + 3z
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s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t
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Podemos obtener un vector director de la recta
Podemos obtener un vector director de la recta
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\mathbf{n}^\prime
\mathbf{n}^\prime
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Revisión de 12:22 24 oct 2010

Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas r y s del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar r y s en un mismo plano paralelo a las dos rectas. Las proyecciones de ambas rectas se encuentran en un mismo plano, mientras que r y s no tienen porque encontrarse en un mismo plano.


Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, \alpha y otro mayor, que seria el suplementario de \alpha , 180 - \alpha .


Imagen:anguloRectas.png


El ángulo entre dos rectas r y s cuyos vectores directores son, respectivamente, \mathbf{u}   y   \mathbf{v}   se puede calcular con la siguiente fórmula:

\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \, </p> <pre> \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}} </pre> <p>

Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas r y s .


Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.

y

s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)

La recta r viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación   </p> <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> <p>   y el plano de ecuación   0 = 2x - y + 4 )


Podemos obtener un vector director de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:

0 = x - 2y + 3z

por un vector perpendicular del plano

0 = 2x - y + 4

Un vector perpendicular al plano

0 = x - 2y + 3z

lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:

\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano

\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n} y \mathbf{n}^\prime es

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)

donde la segunda fila es \mathbf{n} y la tercera es \mathbf{n}^\prime .

Obtenido de "http://www.wikillerato.org/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas.html"
   
 
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