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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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(Ángulo entre dos rectas)
 
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==Ángulo entre dos rectas==
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\alpha
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y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
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\alpha
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180 - \alpha
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\mathbf{v}
\mathbf{v}
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&nbsp; se puede calcular con la siguiente fórmula:
&nbsp; se puede calcular con la siguiente fórmula:
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Línea 117: Línea 116:
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
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\pi
+
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de ecuación &nbsp;
de ecuación &nbsp;
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&nbsp; y el plano
&nbsp; y el plano
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\pi^\prime
+
\pi_2
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de ecuación &nbsp;
de ecuación &nbsp;
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en su ecuación, es decir:
en su ecuación, es decir:
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
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\pi
+
\pi_1
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por un vector perpendicular al plano
por un vector perpendicular al plano
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-
\pi^\prime
+
\pi_2
-
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+
</math>.
Un vector
Un vector
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-
\mathbf{n}
+
\mathbf{n}_1
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perpendicular al plano
perpendicular al plano
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-
\pi
+
\pi_1
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-
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:
+
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano
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\pi_1
 +
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-
\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
+
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
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Línea 191: Línea 192:
De la misma forma obtenemos un vector
De la misma forma obtenemos un vector
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-
\mathbf{n}^\prime
+
\mathbf{n}_2
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perpendicular al plano
perpendicular al plano
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-
\pi^\prime
+
\pi_2
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-
\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
+
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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Línea 206: Línea 207:
El producto vectorial de ambos vectores,
El producto vectorial de ambos vectores,
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\mathbf{n}
+
\mathbf{n}_1
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y
y
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-
\mathbf{n}^\prime
+
\mathbf{n}_2
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es
es
<center>
<center>
<math>
<math>
 +
\mathbf{v} =
\left|
\left|
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 223: Línea 225:
2 & -1 & 0
2 & -1 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)
+
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
</math>
</math>
</center>
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-
donde la segunda fila es
+
 
 +
El ángulo que forman las rectas
<math>
<math>
-
\mathbf{n}
+
r
</math>
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-
y la tercera es
+
y
<math>
<math>
-
\mathbf{n}^\prime
+
s
-
</math>.
+
</math>
 +
es, por tanto
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right|
 +
\cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \,
 +
1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \,
 +
\right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 +
 +
3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas 
r
y 
s
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar 
r
y 
s
en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).


Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, 
\alpha 
, y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de 
\alpha 
,   
180 - \alpha 
.


Imagen:anguloRectas.png


El ángulo entre dos rectas 
r
y 
s
cuyos vectores directores son, respectivamente, 
\mathbf{u}
  y   
\mathbf{v}
,   se puede calcular con la siguiente fórmula:


\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas 
r
y 
s
.


Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{ll}
   0 = & x - 2y + 3z
   \\
   0 = & 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

y


s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right)  = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t
\cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)


La recta 
r
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano 
\pi_1
de ecuación   
</p>
<pre>   0 = x - 2y + 3z
</pre>
<p>   y el plano 
\pi_2 
de ecuación   
0 = 2x - y + 4
).


Un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
s
es el vector que multiplica al parametro 
t
en su ecuación, es decir:


\mathbf{u} =  \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)

Podemos obtener un vector director 
\mathbf{v}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano 
\pi_1 
por un vector perpendicular al plano 
\pi_2
.

Un vector 
\mathbf{n}_1
perpendicular al plano 
\pi_1
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano 
\pi_1
:


\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector 
\mathbf{n}_2
perpendicular al plano 
\pi_2
:


\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}_1
y 
\mathbf{n}_2
es


\mathbf{v} = 
\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)

El ángulo que forman las rectas 
r
y 
s
es, por tanto


\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right|
</p>
<pre> \cdot \left| \,  \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos  \frac{\left| \, \left( \,
     1, \,  -1, \, 2  \, \right) \cdot \left(  \, 3, \,  6, \, 3 \,  \right) \,
 \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \,  \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 +
   3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} 
</pre>
<p>

   
 
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