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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (23:47 19 oct 2013) (editar) (deshacer)
(Ángulo entre dos rectas)
 
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Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general,
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y otro mayor, que seria el suplementario de
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180 - \alpha
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&nbsp; se puede calcular con la siguiente fórmula:
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\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \,
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Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
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obtiene el ángulo que forman las retas
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Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
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r:
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0 = & x - 2y + 3z
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s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t
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La recta
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viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
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Un vector director
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es el vector que multiplica al parametro
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en su ecuación, es decir:
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Podemos obtener un vector director
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de la recta
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
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por un vector perpendicular al plano
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Un vector
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\mathbf{n}_1
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perpendicular al plano
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano
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\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
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De la misma forma obtenemos un vector
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\mathbf{n}_2
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perpendicular al plano
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\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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El producto vectorial de ambos vectores,
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\mathbf{n}_1
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y
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\mathbf{n}_2
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\mathbf{v} =
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\left|
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\begin{array}{ccc}
 +
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
 +
\\
 +
1 & -2 & 3
 +
\\
 +
2 & -1 & 0
 +
\end{array}
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\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
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El ángulo que forman las rectas
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r
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y
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s
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es, por tanto
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\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right|
 +
\cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \,
 +
1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \,
 +
\right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 +
 +
3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6}
 +
</math>
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</center>
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas 
r
y 
s
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar 
r
y 
s
en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).


Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, 
\alpha 
, y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de 
\alpha 
,   
180 - \alpha 
.


Imagen:anguloRectas.png


El ángulo entre dos rectas 
r
y 
s
cuyos vectores directores son, respectivamente, 
\mathbf{u}
  y   
\mathbf{v}
,   se puede calcular con la siguiente fórmula:


\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas 
r
y 
s
.


Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{ll}
   0 = & x - 2y + 3z
   \\
   0 = & 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

y


s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right)  = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t
\cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)


La recta 
r
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano 
\pi_1
de ecuación   
</p>
<pre>   0 = x - 2y + 3z
</pre>
<p>   y el plano 
\pi_2 
de ecuación   
0 = 2x - y + 4
).


Un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
s
es el vector que multiplica al parametro 
t
en su ecuación, es decir:


\mathbf{u} =  \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)

Podemos obtener un vector director 
\mathbf{v}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano 
\pi_1 
por un vector perpendicular al plano 
\pi_2
.

Un vector 
\mathbf{n}_1
perpendicular al plano 
\pi_1
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano 
\pi_1
:


\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector 
\mathbf{n}_2
perpendicular al plano 
\pi_2
:


\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}_1
y 
\mathbf{n}_2
es


\mathbf{v} = 
\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)

El ángulo que forman las rectas 
r
y 
s
es, por tanto


\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right|
</p>
<pre> \cdot \left| \,  \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos  \frac{\left| \, \left( \,
     1, \,  -1, \, 2  \, \right) \cdot \left(  \, 3, \,  6, \, 3 \,  \right) \,
 \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \,  \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 +
   3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} 
</pre>
<p>

   
 
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