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Ángulo doble y ángulo mitad

De Wikillerato

Como se explica en la sección sobre las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \alpha \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,        
</pre>
<p>\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)


Teniendo en cuenta que   
\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
^2 \, + \, \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
^2 \, = \, 1
, deducimos que:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \cdot \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,
\left(
  \, 1 \, - \, \mathrm{cos}
  \left(
 \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
^2
\right)
\, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
\right)  
</pre>
<p>\right)
\, - \, 1


Según lo que se explica en la sección sobre razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, se tiene que:



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \alpha \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, + \,        
</pre>
<p>\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)


Por tanto



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 2 \cdot \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, 2 \cdot \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)


Si en las dos igualdades obtenidas:



\mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, = \, 2 \cdot
\mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right)  
\, - \, 1



\mathrm{sen} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, = \, 2 \cdot \mathrm{sen}
\left( \, \alpha \, \right) \cdot  \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)


sustituimos   
\alpha
  por   
\frac{\alpha}{2}
, obtenemos:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccl}
   \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & \, = \, & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
   \left(
     \, \frac{\alpha}{2} \, 
   \right)  
 \right)
 \, - \, 1
 \\
 \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \, & \, = \, & \, 2 \cdot
 \mathrm{sen}
 \left(
   \, \frac{\alpha}{2} \,
 \right)   
 \cdot  \mathrm{cos}
 \left(
   \, \frac{\alpha}{2} \,
 \right)  
</pre>
<p>\end{array}
\right.


Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas incognitas son   
\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)   
  y   
\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)   
  y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, + \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, - \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}


En ambos casos se elige el signo de la raiz en función de en que cuadrante este   
\frac{\alpha}{2}
.


   
 
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