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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:22 16 oct 2012) (editar) (deshacer)
 
(108 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
==Definición de matriz y tipos de matrices==
+
__TOC__
 +
 
 +
==Definición de matriz==
<br/>
<br/>
-
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
+
Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
 +
 
 +
<br/>
 +
Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
Línea 19: Línea 24:
<br/>
<br/>
 +
<center>
<center>
Línea 40: Línea 46:
La matriz &nbsp;
La matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
+
&nbsp; se puede denotar también como &nbsp;
<math>
<math>
-
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
+
\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
</math>
</math>
&nbsp; donde
&nbsp; donde
Línea 64: Línea 70:
<br/>
<br/>
-
Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 
<math>
<math>
a_{ij}
a_{ij}
-
</math>
+
</math> designa un elemento generico de la matriz &nbsp;
-
&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
+
<math>
<math>
-
i
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
+
, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
-
<math>
+
<br/>
-
j
+
-
</math>
+
-
&nbsp; el numero de columna.
+
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
+
==Tipos de matrices==
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se denota por:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
===Matriz cuadrada===
-
<math>
+
-
M_{m \times n}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
+
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de
-
<math>
+
columnas.
-
n \times n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; se denota por:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
En las matrices cuadradas tenemos:
-
<math>
+
-
M_n
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
+
<span
-
 
+
style = 'color:#00aa00'>
-
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
+
&bull;
 +
</span>
 +
la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
<math>
<math>
a_{ii}
a_{ii}
Línea 122: Línea 106:
&nbsp;
&nbsp;
-
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
&bull;
 +
</span>
 +
la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
<math>
<math>
a_{ij}
a_{ij}
Línea 134: Línea 122:
<center>
<center>
-
<math>
+
[[Image:diagonales.gif]]
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}
+
-
\\
+
-
a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24}
+
-
\\
+
-
a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34}
+
-
\\
+
-
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
&
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}}
+
-
\\
+
-
a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24}
+
-
\\
+
-
a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34}
+
-
\\
+
-
\mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\\
+
-
&
+
-
\\
+
-
\makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
+
===Matrices rectangulares===
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
m \neq n
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
 +
 
 +
Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas
 +
que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
====Ejemplo====
<br/>
<br/>
Línea 195: Línea 154:
<br/>
<br/>
-
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
+
===Matrices filas===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una '''''matriz fila''''' es una matriz con una sola fila. Su dimensión es &nbsp;
<math>
<math>
1 \times n
1 \times n
</math>
</math>
-
Ejemplo:
+
.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
====Ejemplo====
<br/>
<br/>
Línea 215: Línea 182:
<br/>
<br/>
-
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
+
===Matrices columna===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una '''''matriz columna''''' es una matriz rectangular con una sola columna. Su
 +
dimensión es &nbsp;
<math>
<math>
m \times 1
m \times 1
</math>
</math>
-
&nbsp;
+
.
-
Ejemplo:
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
====Ejemplo====
<br/>
<br/>
Línea 238: Línea 213:
<br/>
<br/>
-
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por
+
===Matrices nulas===
-
&nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una '''''matriz nula''''' es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota
 +
por &nbsp;
<math>
<math>
 +
\mathbf{0}_{m \times n}
</math>
</math>
.
.
-
Ejemplo:
 
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Donde &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
m \times n
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
0 & 0 & 0
+
-
\\
+
-
0 & 0 & 0
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; es la dimensión de la matriz.
<br/>
<br/>
-
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
====Ejemplo====
-
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 272: Línea 242:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
1 & -1 & ~~0
+
0 & 0 & 0
\\
\\
-
0 & ~~3 & -1
+
0 & 0 & 0
-
\\
+
-
0 & ~~0 & ~~2
+
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 284: Línea 252:
<br/>
<br/>
-
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
===Matrices triangulares superiores===
-
situados por encima de la diagonal principal son ceros
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Una '''''matriz triangular superior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
<math>
+
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
2 & ~~0 & 0
+
-
\\
+
-
3 & -1 & 0
+
-
\\
+
-
1 & -1 & 3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
====Ejemplo====
-
no situados en la diagonal principal son ceros.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 316: Línea 269:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
~~2 & ~~0 & ~~0
+
1 & -1 & ~~0
\\
\\
-
~~0 & -1 & ~~0
+
0 & ~~3 & -1
\\
\\
-
~~0 & ~~0 & ~~3
+
0 & ~~0 & ~~2
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 328: Línea 281:
<br/>
<br/>
-
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
+
===Matrices triangulares inferiores===
-
de la diagonal principal son iguales.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Una '''''matriz triangular inferior''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
<math>
+
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
2 & {0} & {0}
+
-
\\
+
-
{0} & 2 & {0}
+
-
\\
+
-
{0} & {0} & 2
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
+
====Ejemplo ====
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
1
+
-
</math>
+
-
&nbsp; .
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 364: Línea 298:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
1 & {0} & {0}
+
2 & ~~0 & 0
\\
\\
-
{0} & 1 & {0}
+
3 & -1 & 0
\\
\\
-
{0} & {0} & 1
+
1 & -1 & 3
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 376: Línea 310:
<br/>
<br/>
-
==Operaciones con matrices==
+
===Matrices diagonales===
<br/>
<br/>
-
Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el
+
Una '''''matriz diagonal''''' es una matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
mismo lugar en ambas, son iguales.
+
NO situados en la diagonal principal son ceros.
-
 
+
-
Para dos matrices &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A = \left( a_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
B = \left( b_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de la misma dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; la suma de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
B
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la matriz de la misma dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; dada por
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
====Ejemplo====
-
<math>
+
-
A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 425: Línea 325:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A + B =
+
\left(
-
\left(
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
~~2 & ~~0 & ~~0
-
a_{11 }& a_{12} & a_{13}
+
\\
-
\\
+
~~0 & -1 & ~~0
-
a_{21 }& a_{22} & a_{23}
+
\\
-
\\
+
~~0 & ~~0 & ~~3
-
a_{31 }& a_{32} & a_{33}
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right)
-
\right)
+
-
+
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
b_{11 }& b_{12} & b_{13}
+
-
\\
+
-
b_{21 }& b_{22} & b_{23}
+
-
\\
+
-
b_{31 }& b_{32} & b_{33}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
+
-
\\
+
-
a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
+
-
\\
+
-
a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 460: Línea 339:
<br/>
<br/>
-
Para un número real &nbsp;
+
===Matrices escalares===
-
<math>
+
-
k
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y una matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A = \left( a_{ij} \right)}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension
+
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; dada por
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Una '''''matriz escalar''''' es una matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.
-
<math>
+
-
k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Es decir, el producto &nbsp;
+
====Ejemplo====
-
<math>
+
-
k \cdot A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la
+
-
matriz.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 501: Línea 353:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
k \cdot A = k \cdot
+
\left(
-
\left(
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
2 & {0} & {0}
-
a_{11 }& a_{12}
+
\\
-
\\
+
{0} & 2 & {0}
-
a_{21 }& a_{22}
+
\\
-
\\
+
{0} & {0} & 2
-
a_{31 }& a_{32}
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right)
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12}
+
-
\\
+
-
k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22}
+
-
\\
+
-
k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 526: Línea 367:
<br/>
<br/>
-
----
+
===Matrices unidad o identidad===
<br/>
<br/>
-
==Producto de matrices==
+
Una '''''matriz unidad o identidad''''' es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son
 +
todos 1.
<br/>
<br/>
-
El producto de dos matrices &nbsp;
+
====Ejemplo====
-
<math>
+
-
A = \left( a_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
B = \left( b_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n \times p
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; es la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A \cdot B
+
-
</math>
+
-
&nbsp; dada por:
+
<br/>
<br/>
Línea 560: Línea 382:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A \cdot B = \left( c_{ij} \right)
+
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 566: Línea 396:
<br/>
<br/>
-
con
+
[[Category:Matemáticas]]
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Es decir, cada elemento &nbsp;
+
-
<math>
+
-
c_{ik}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna
+
-
k-ésima de la segunda matriz.
+
-
Ejemplo:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
1 & 2 & 3
+
-
\\
+
-
4 & 5 & 6
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\cdot
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
~~7 & ~~8
+
-
\\
+
-
~~9 & ~~0
+
-
\\
+
-
-1 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
+
-
\\
+
-
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Propiedades:===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
*El producto de matrices cuadradas es asociativo:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A \cdot
+
-
\left(
+
-
B \cdot C
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
A \cdot B
+
-
\right)
+
-
\cdot C
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
*El producto de matrices cuadradas de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad &nbsp;
+
-
<math>
+
-
I
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; ya que:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A \cdot I = I \cdot A = A
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
* El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A \cdot
+
-
\left(
+
-
B + C
+
-
\right)
+
-
= A \cdot B + A \cdot C
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Transposicion de matrices. Matriz simetrica y antisimetrica==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Se llama matriz traspuesta de una matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; a la matriz que se obtiene al cambiar en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A^t
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y su dimension es &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n \times m
+
-
</math>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Propiedades:===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
* <math>
+
-
\left( \, A^t \, \right)^t = A
+
-
</math>
+
-
 
+
-
* <math>
+
-
\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
* <math>
+
-
\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
* <math>
+
-
\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; que coincide con su transpuesta: &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A = A^t
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
+
-
diagonal principal son iguales.
+
-
Ejemplo:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
1 & 2 & 3
+
-
\\
+
-
2 & 4 & 5
+
-
\\
+
-
3 & 5 & 7
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; que coincide con la opuesta de su transpuesta: &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A = -A^t
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
+
-
diagonal principal son opuestos.
+
-
Ejemplo:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~ 0 & ~~2 & -3
+
-
\\
+
-
-2 & ~~0 & ~~5
+
-
\\
+
-
~~ 3 & -5 & ~~0
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Matriz inversa==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n,
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
, A^{-1},
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; que verifica:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
+
-
singulares.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Calculo de la matriz inversa===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos
+
-
procedimientos:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
====Mediante la definicion====
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A =
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
3 & 7
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
hacemos
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A^{-1} =
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
a & b
+
-
\\
+
-
c & d
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
como
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
3 & 7
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\cdot
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
a & b
+
-
\\
+
-
c & d
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 0
+
-
\\
+
-
0 & 1
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Operando:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
a + 2c & b + 2d
+
-
\\
+
-
3a + 7c & 3b + 7d
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 0
+
-
\\
+
-
0 & 1
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\Leftrightarrow
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
a + 2c & = & 1
+
-
\\
+
-
3a + 7c & = & 0
+
-
\\
+
-
b + 2d & = & 0
+
-
\\
+
-
3b + 7d & = & 1
+
-
\\
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\Rightarrow \left\{
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
a & = & 7
+
-
\\
+
-
b & = & -2
+
-
\\
+
-
c & = & -3
+
-
\\
+
-
d & = & 1
+
-
\\
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
====Método de Gauss-Jordan====
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La inversa de una matriz regular &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, A \, \left| \, I \, \right.
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
+
-
 
+
-
# Intercambiar las filas &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
j,
+
-
</math>
+
-
&nbsp; que designaremos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i \longrightarrow F_j
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
# Multiplicar la fila &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
+
-
<math>
+
-
k \neq 0
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i \tau k \cdot F_i
+
-
</math>
+
-
 
+
-
# Multiplicar la fila &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
+
-
<math>
+
-
k \neq 0
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i \tau k \cdot F_i
+
-
</math>
+
-
 
+
-
# Sumar las filas &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
j,
+
-
</math>
+
-
&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; o &nbsp;
+
-
<math>
+
-
j
+
-
</math>
+
-
&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; o &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
+
-
</math>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Rango de una matriz==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
En la matriz
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
-
\\
+
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
-
\\
+
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
-
\\
+
-
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Se dice que las filas &nbsp;
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, F_i =
+
-
\left(
+
-
\, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \,
+
-
\right)
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
son dependientes si existen números &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tales que
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
En caso contrario, se dice que las filas &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
+
-
</math>
+
-
&nbsp; son linealmente independientes.
+
-
 
+
-
El '''rango''' de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes
+
-
que tiene esa matriz.
+

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.


Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  




\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
\mathbf{A} 
  se puede denotar también como   
\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



a_{ij}
designa un elemento generico de la matriz   
\mathbf{A}
,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.

Tipos de matrices


Matriz cuadrada


Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.


En las matrices cuadradas tenemos:


la diagonal principal formada por los elementos de la forma   
a_{ii}
 

la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma   
a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Matrices rectangulares


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices filas


Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensión es   
1 \times n
.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices columna


Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su dimensión es   
m \times 1
.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices nulas


Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota por   
\mathbf{0}_{m \times n}
.


Donde   
m \times n
  es la dimensión de la matriz.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices triangulares superiores


Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices triangulares inferiores


Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices diagonales


Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los terminos NO situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices escalares


Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices unidad o identidad


Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


   
 
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