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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas 
r
y 
s
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar 
r
y 
s
en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).


Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, 
\alpha 
y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de 
\alpha 
, 
180 - \alpha 
.


Imagen:anguloRectas.png


El ángulo entre dos rectas 
r
y 
s
cuyos vectores directores son, respectivamente, 
\mathbf{u}
  y   
\mathbf{v}
  se puede calcular con la siguiente fórmula:


\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas 
r
y 
s
.


Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{ll}
   0 = & x - 2y + 3z
   \\
   0 = & 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

y


s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right)  = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t
\cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)


La recta 
r
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación   
</p>
<pre>   \pi: 0 = x - 2y + 3z
</pre>
<p>   y el plano de ecuación   
\pi^\prime: 0 = 2x - y + 4
).


Un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
s
es el vector que multiplica al parametro 
t
en su ecuación, es decir:


\mathbf{u} =  \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)



Podemos obtener un vector director 
\mathbf{v}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:


\pi: 0 = x - 2y + 3z

por un vector perpendicular del plano


\pi^\prime: 0 = 2x - y + 4

Un vector perpendicular al plano 
\pi
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:


\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al plano 
\pi^\prime
:


\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}
y 
\mathbf{n}^\prime
es


\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)

donde la segunda fila es 
\mathbf{n}
y la tercera es 
\mathbf{n}^\prime 
.

   
 
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