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Posiciones relativas de dos planos

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

Introducción


Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:


1. Secantes.


2. Coincidentes.


3. Paralelos.


Sean dos planos   
\pi_1
  y   
\pi_2
  de ecuaciones:



\pi_1: \, a_1 x \, + \, b_1 y \, + \, c_1 \, + \, d_1 \, = \, 0



\pi_2: \, a_2 x \, + \, b_2 y \, + \, c_2 \, + \, d_2 \, = \, 0


Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:



A \, = \,
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a_1 & b_1 & c_1
   \\
   a_2 & b_2 & c_2
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \,
\left(
</p>
<pre> \left.
   \begin{array}[c]{ccc}
     a_1 & b_1 & c_1
     \\
     a_2 & b_2 & c_2
   \end{array}
 \right|
 \begin{array}[c]{c}
   -d_1
   \\
   -d_2
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Según el teorema de Rouché-Fröbenius, se pueden presentar los casos que pasamos a discutir en la siguiente seccion:


Casos que se pueden dar:


Secantes:     Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2


El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan según una recta. Son planos secantes.


Asi, los planos



\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1



\pi_2: \, x \, + \, y \, + \, z \, = \, 2


son secantes, pues:


Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2


Coincidentes:     Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1


El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, siendo la segunda ecuación proporcional a la primera. Los planos tienen en comun todos sus puntos. Son planos coincidentes.


Asi, los planos



\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1



\pi_2: \, 2x \, + \, 2y \, - \, 2z \, = \, 2


son coincidentes, pues:


Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1


Paralelos:     Rango ( A ) = 1,     Rango ( A | B ) = 2


El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los planos no tienen ningun punto en común. Son planos paralelos.


Asi, los planos



\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1



\pi_2: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 2


son paralelos, pues:


Rango ( A ) = 1       mientras que       Rango ( A | B ) = 2


   
 
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