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Reducción de las razones trigonometricas

De Wikillerato

En este apartado veremos que las razones trigonométricas de cualquier angulo son calculables a partir de las de ángulos comprendidos entre   
0^\circ
  y 
45^\circ
.

Para ello utilizaremos la siguiente tabla:


Imagen:tabla3.png


Por ejemplo, para conocer cual es la relación entre el coseno de   
\, 90^\circ \, + \, \alpha \,
  y las razones trigonometricas de   
\alpha
, mirariamos a la celda situada en la quinta columna y segunda fila, para encontrar que:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 90^\circ \, + \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, -\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)


Las relaciones que muestran la tabla se pueden obtener a partir de la formulas del coseno y del seno de la suma y de la diferencia de dos angulos. Por ejemplo:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 90^\circ \, + \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 90^\circ \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)
\, - \, \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 90^\circ \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, 0 \cdot \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)
\, - \, 1 \cdot \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, -\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)


Otra manera de obtener las relaciones que muestran la tabla es representando ambos angulos en la circunferencia goniometrica. Por ejemplo, si representamos en la circunferencia goniometrica   
\alpha
  y   
180^\circ \, - \, \alpha
:


Imagen:circulo3.png


se observa facilmente que el coseno de   
180^\circ \, - \, \alpha
, la abcisa ( x ) del punto   
P^\prime
, coincide con el opuesto del coseno de 
\alpha
, la abcisa del punto   
P
, y que el seno de   
180^\circ \, - \, \alpha
, la ordenada ( y ) del punto   
P^\prime
, coincide con el seno de 
\alpha
, la abcisa del punto   
P
.


El mismo ejercicio se puede realizar con el resto de los angulos que se consideran en la tabla. Invitamos al lector que compruebe por si mismo, mirando a la figura de abajo, que las relaciones entre las razones trigonometricas de   
-\alpha
  y   
\alpha
  que aparecen en la tabla son correctas.


Imagen:circulo2.png


Ejemplo


Veamos un ejemplo de como se puede utilizar la tabla de arriba para calcular la tangente de   
945^\circ
:


Si dividimos   
945^\circ
  entre   
360^\circ
  obtenemos como cociente   
2
  y como resto   
225^\circ
. Es decir:



945^\circ \, = \, 2 \cdot 360^\circ \, + \, 225^\circ


Utilizando la segunda columna de la tabla anterior, con   
\alpha \, = \, 225^\circ
  y   
k \, = \, 2
, tenemos que:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 225^\circ \,
</pre>
<p>\right)


y


\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 225^\circ \,
</pre>
<p>\right)


Así



\mathrm{tg}
\left(
</p>
<pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{sen}
 \left(
   \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \,
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{cos}
 \left(
   \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \,
 \right)
</pre>
<p>}
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{sen}
 \left(
   \, 225^\circ \, 
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{cos}
 \left(
   \, 225^\circ \, 
 \right)
</pre>
<p>}
\, = \, \mathrm{tg}
\left(
</p>
<pre> \, 225^\circ \, 
</pre>
<p>\right)


Por otra parte



</p>
<pre>  225^\circ \, = \, 180^\circ \, + \, 45^\circ
</pre>
<p>


A partir de la cuarta fila de la tabla deducimos que:



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ
</pre>
<p>\right)
\, = \,
-\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 45^\circ \,
</pre>
<p>\right)


y



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ
</pre>
<p>\right)
\, = \,
-\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, 45^\circ \,
</pre>
<p>\right)


Por lo tanto,



\mathrm{tg}
\left(
</p>
<pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{sen}
 \left(
   \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \,
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{cos}
 \left(
   \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \,
 \right)
</pre>
<p>}
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> -\mathrm{sen}
 \left(
   \, 45^\circ \,
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> -\mathrm{cos}
 \left(
   \, 45^\circ \, 
 \right)
</pre>
<p>}
\, = \, \mathrm{tg}
\left(
</p>
<pre> \, 45^\circ \, 
</pre>
<p>\right)


con lo cual



\mathrm{tg}
\left(
</p>
<pre> \, 945^\circ \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{tg}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, 45^\circ \, 
</pre>
<p>\right)


   
 
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