Teorema de Bayes
De Wikillerato
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Enunciado
Sean sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales .
Entonces las probabilidades vienen dadas por la expresión:
Demostración
Por definición de probabilidad condicionada
despejando , se tiene:
La probabilidad , por el teorema de la probabilidad total, es igual a
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
Ejemplo
Tenemos tres urnas: con tres bolas rojas y cinco negras, con dos bolas rojas y una negra y con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna ?
Llamamos al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: