Conceptos básicos: espacios vectoriales
De Wikillerato
En el plano, un vector fijo
es un segmento orientado de origen
y extremo
, que tiene las siguientes caracteristicas:
Módulo: longitud del segmento
.
Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
Sentido: el que va del origen al extremo.
Los vectores
y
tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario.
Los vectores
y
son opuestos.
El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo
que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres
es que si
es un vector libre y
es un punto del plano, existe un único punto
tal que
.
Componentes de un vector
Un sistema de referencia esta formado por dos rectas
y
, llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto
, origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas
son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida
son iguales a uno, el sistema es ortonormal.
Para representar un punto
del plano en un sistema de coordenadas cartesiano
se trazan dese
perpendiculares a los ejes, obteniendo
y
. Si la distancia de
a
es
, y la de
a
es
, entonces
e
reciben el nombre de coordenadas del punto
. Se escribe
, siendo
la abcisa e
la ordenada.
Conocidas las coordenadas del origen
y del extremo
de un vector fijo
, se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del
extremo las del origen:
Suma de vectores
Sean
y
dos vectores libres, se define el vector suma
como otro vector obtenido de la siguiente forma:
1. Se señala un punto
del plano y se traza el vector
representante de
.
2. Por el extremo
se traza el vector
3. El vector
que tiene como origen
( origen del primero ) y como extremo
( extremo del segundo ) es el representante del vector suma
.
La suma tiene las siguientes propiedades:
Asosiativa:
El vector nulo es
, pues:
El vector opuesto de
es
, pues:
Conmutativa:
Producto de un número real por un vector
Si
es un vector libre y
un número real, se define el producto
como un nuevo vector que tiene por módulo el producto
, por dirección la misma de
y sentido el mismo de
si
es positivo, y opuesto, si
es negativo.
El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:
Además, si
, se verifica que, o bien
o bien
.