Definición y tipos

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales
- 2.1 Ejemplo
3 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $\left( <pre> \, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \, </pre> \right)$ es un conjunto formado por $m$ igualdades de la forma:

$\left. <pre> \begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \dotfill \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{array} </pre> \right\}$

donde los $a_{ij}$ se llaman coeficientes y los $b_i$ , terminos independientes del sistema.

En los coeficientes $a_{ij}$ , el subindice $i$ indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coeficiente, y el subíndice $j$ señala de que incognita es coeficiente $a_{ij}$ .

El subindice $i$ que aparece en el término $b_i$ , indica la ecuación de la que $b_i$ es término independiente.

El sistema anterior de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incognitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} </pre> \right)$

De izquierda a derecha, la primera matriz, en la igualdad anterior es la matriz de los coeficientes y la llamaremos $\mathbf{A}$ , la segunda matriz es la matriz de las incognitas y la llamaremos $\mathbf{B}$ . La tercera es la matriz de los terminos indedependientes y la llamaremos $\mathbf{B}$ .

Con esta notación, nuestro sistema de ecuaciones lineales se puede representar de la siguiente manera:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}$

La matriz de los coeficientes ampliada con los terminos independientes o simplemente la matriz ampliada es la matriz de los coeficientes, $\mathbf{A}$ , a la que se añade la columna de los terminos independientes, $\mathbf{B}$ :

$\mathbf{A}|\mathbf{B} \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> \right| \begin{array}[c]{c} <pre> b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m </pre> \end{array} \right)$

Solución de un sistema de ecuaciones lineales

Serán soluciones de un sistema de ecuaciones lineales todas las n-tuplas $\left( <pre> \, s_1, \, s_2, \, \ldots, \, s_n \, </pre> \right)$ tales que al sustituir $x_i$ por $s_i$ , para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.

Al conjunto de todas las soluciones del sistema se le llama solución general, y a cada una de las soluciones que forman dicho conjunto, solución particular.

Ejemplo

La solución del sistema de ecuaciones lineales

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 5x + 2y = 9 \\ 4x - 3y = -2 </pre> \end{array} \right.$

$\left( \, \begin{array}{c} <pre> x \\ y </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 1 \\ 2 </pre> \end{array} \, \right)$

porque cuando sustituimos $x$ por 1 e $y$ por 2 en el sistema de ecuaciones, obtenemos

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 9 \\ 4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -2 </pre> \end{array} \right.$

que son identidades ( igualdades ciertas ).

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

$\left\{ <pre> \begin{array}{l} COMPATIBLES \left\{ \begin{array}{l} DETERMINADOS \\ INDETERMINADOS \end{array} \right. \\ INCOMPATIBLES \end{array} </pre> \right.$

Sistemas de ecuaciones compatibles e incompatibles

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible cuando tiene al menos una solución e incompatible cuando NO tiene ninguna solución.

Ejemplo

Un sistema de ecuaciones lineales incompatible es

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x = 4 \\ 3x = 3 </pre> \end{array} \right.$

ya que de la primera ecuación se deduce que $x = 2$ mientras que de la segunda se deduce que $x = 1$

Como es imposible que $x$ sea dos y uno al mismo tiempo, ambas igualdades

$x = 1 \qquad \text{y} \qquad x = 2$

son incompatibles y por eso el sistema de ecuaciones con el que iniciabamos este ejemplo no tiene solución.

Teorema de Rouche-Fröbenius

Georg F. Fröbenius fue un matematico aleman que nacio en 1849 y murio en 1917. ¡Gracias Georg por tu legado!

Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incognitas es compatible ( tiene solución ) si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

Ejemplo:sistemas homogeneos

Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus terminos independientes son cero.

En un sistema de ecuaciones homogeneo, la matriz $\mathbf{B}$ de los terminos independientes es una matriz nula, de manera que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius, que un sistema homogeneo SIEMPRE es compatible.

En cualquier sistema homogeneo, una solución particular es la solución trivial ( todas las incognitas son cero ).

Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado cuando tiene solución única.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones lineales

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 4x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 </pre> \end{array} \right.$

tiene una única solución

$\left( \, \begin{array}{c} <pre> x \\ y </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 1 \\ 1 </pre> \end{array} \, \right)$

y se trata, por tanto, de un sistema de ecuaciones compatible determinado.

Sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado si y solo si tiene mas de una solución, es decir:

Si un sistema de ecuaciones lineales tiene mas de una solución, entonces tiene infinitas soluciones.

Cuando el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado hay que distinguir entre la solución general del sistema de ecuaciones y las soluciones particulares del mismo.

Cuando se da la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado lo que se da es un la solución general. Esta solución depende de uno o mas parametros.

Dando a los parametros unos valores determinados obtenemos una solución particular del sistema; dando a los parametros otros valores distintos obtenemos otra solución particular del sistema.

El número de parametros en la solución general coincide con el número de incognitas menos el rango de la matriz de los coeficientes del sistema.

Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:

1. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incognitas.

2. Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al número de incognitas.

En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 4x + 3y = 0 \\ 2x - y = 0 </pre> \end{array} \right.$

es homogeneo.

Como el determinante de la matriz de los coeficientes

$\left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right| </pre> $

es distinto de cero $\left( \, 4 \cdot \left( \, -1 \, \right) - 2 \cdot 3 = -10 \, \right)$ , el rango de $\mathbf{A}$ coincide con el número de incognitas ( 2 ) y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado, es decir tiene una solución única.

$\left( \, \begin{array}{c} <pre> x \\ y </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 0 \\ 0 </pre> \end{array} \, \right)$

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

$x + y = 2$

esta formado por una única ecuación y es compatible indeterminado, ya que tiene mas de dos soluciones.

$\left( \, \begin{array}{c} <pre> x \\ y </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 1 \\ 1 </pre> \end{array} \, \right)$

$\left( \, \begin{array}{c} <pre> x \\ y </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 2 \\ 0 </pre> \end{array} \, \right)$

Para dar la solución de esta ecuación tenemos que introducir un parametro que podemos llamar $t$ .

La solución general, en este caso, esta parametrizada por un solo parametro porque

número de incognitas ( 2 ) - rango de la matriz de los coeficientes( 1 ) = 1

La matriz de los coeficientes es una matriz con una fila y dos columnas

$\mathbf{A} = \left( \, 1 \qquad 1 \, \right)$

cuyo rango es 1 ( la unica manera posible de que una matriz tenga rango menor que 1 es teniendo todos sus elementos cero, en cuyo caso tendria rango cero ).

Si hacemos $y = t$ nos queda que

$x = 1 - t$

de manera que la solución general seria

$\left( \, \begin{array}{c} <pre> x \\ y </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 1 - t \\ t </pre> \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{c} <pre> 1 \\ 0 </pre> \end{array} \, \right) + t \cdot \left( \, \begin{array}{c} <pre> -1 \\ ~1 </pre> \end{array} \, \right)$