Cálculo de áreas y volúmenes
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Cálculo del área entre las graficas de dos funciones
Supongamos que nos dan dos funciones y y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación:
para obtener soluciones con
A continuacion, buscamos una primitiva de .
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:
donde es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones , , la grafica de la función y la grafica de la función .
Ejemplo
Calculemos el área comprendida entre las graficas de y .
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
- 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:
para obtener 3 soluciones .
- 2 Una primitiva
de
es
- 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
Volumen de un cuerpo de revolución
Al girar un trozo de la grafica de una función alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.
Si dividimos el intervalo en subintervalos iguales, entonces podemos aproximar el area del cuerpo de revolución pordonde es el limite superior y es el limite inferior del i-esimo subintervalo.
El producto
es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X y cuyas bases estan en los planos de ecuación y , respectivamente.
Notese que y que .
Para cada tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender a obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral
.
Ejemplo
Consideremos el cuerpo de revolución formado por la función constante
Al hacer girar el trozo de la grafica de entre y ontenemos un cuerpo de revoluci\'on ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).
Utilizando la formula anterior se llega a que
que coincide con el resultado que se obtiene con la f\'ormula del volumen de un cilindro: