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Cálculo de áreas y volúmenes

De Wikillerato


Cálculo del área entre dos curvasmediante integrales


Supongamos que nos dan dos funciones   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.


El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   
\mathrm{h}  \left( \,  x  \,  \right) :=  \mathrm{f}  \left( \,  x  \, \right)  -
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función 
\mathrm{h} 
  y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


  1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0

para obtener 
n
soluciones   
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
  con


x_1 < x_2 < \ldots < x_n

  1. 2 Buscamos una primitiva   
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
  de   
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
.

    1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la

    fórmula:

    
\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_2 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
   \, x_n \, \right) \, \right|
</pre>
<p>

    donde

    
\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_i \, \right) \, \right|
</pre>
<p>

    es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   
x = x_{i-1}
,   
x = x_i
,   el eje X y la grafica de la función 
\mathrm{h}
.


    Ejemplo


    Calculemos el área comprendida entre las graficas de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3
  y   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x
.


    El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   
\mathrm{h}  \left( \,  x  \,  \right) :=  \mathrm{f}  \left( \,  x  \, \right)  -
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x
  y el eje X.


    Para calcular el área comprendida entre la función 
\mathrm{h} 
  y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


    1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

    
\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x

    para obtener 3 soluciones   
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
.

    1. 2 Una primitiva   
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
  de   
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
  es

      
\mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}


      1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:

      
\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_2 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, x_3 \, \right) \, \right| =
</pre>
<p>

      
\left| \, \mathrm{H} \left(  \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, 0 \, \right) \, \right| +
</pre>
<p>\left| \, \mathrm{H} \left(  \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left(
</p>
<pre>   \, 1 \, \right) \, \right| =
</pre>
<p>

      
</p>
<pre>= \left|  \,  \frac{\left(  \,  -1  \,  \right)^4}{4}  -  \frac{\left(  \,  -1  \,
   \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
   \right)^2}{2} \, \right) \right| +
</pre>
<p>\left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
</p>
<pre>   \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 1 \,
   \right)^2}{2} \, \right) \right| = \frac{9}{4}
</pre>
<p>


      Volumen de un cuerpo de revolución


      Al girar un trozo de la grafica de una función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
  alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.


      Si dividimos el intervalo   
\left[ \, a, \, b \, \right]
  en 
n
subintervalos iguales, entonces podemos aproximar el area del cuerpo de revolución por

      
\sum_{i=1}^n \pi \ddot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

      donde   
x_i
  es el limite superior del i-esimo subintervalo.


      El producto

      
\pi \ddot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

      es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X y cuyas bases estan en los planos de ecuación  
x = x_{i-1}
  y   
x = x_i

respectivamente.
</p><p><br/>
</p><p>Notese que &nbsp;
<math>
x_i - x_{i-1} = \frac{b - a}{n}
  y que   
x_n = b, \, x_0 = a
.


      Para cada   
i = 1, \, 2, \, \ldots n 
  tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender 
n
a 
\infty
obtenemos el volumen del cuerpo dense revolución que coicide con la siguiente integral

      .

      
\text{Volumen} = \int_a^b \pi \ddot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

         
 
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