Cuadriláteros

De Wikillerato

Características generales

Un cuadrilátero ABCD es una figura plana limitada por cuatro lados y cuatro vértices. Puede ser cóncavo o convexo, inscriptible o circunscriptible.

Nomenclatura

Recordamos que los cuadriláteros, como los demás polígonos se nombran por sus vértices, siguiendo el orden alfabético. Cada ángulo se nombra por la letra griega correspondiente al orden del alfabeto griego o indicando su vértice, como ya hemos visto al hablar de triángulos.

Cuadriláteros cóncavos o convexos

Recordamos que un polígono es convexo cuando no contiene prolongaciones de sus lados y es cóncavo cuando las contiene. Los ángulos internos de los cuadriláteros suman 360º, sean cóncavos o convexos, pues en ambos casos una diagonal los divide en dos triángulos.

Cuadriláteros idénticos, iguales y semejantes

Un polígono es idéntico a otro cuando es igual y ocupa el mismo lugar. Como los cuadriláteros de la figura, ABCD ≡ A’B’C’D’.

Un polígono es igual a otro cuando sus lados y ángulos correspondientes son iguales con el mismo orden. En la figura ABCD = A’B’C’D’.

Un polígono es semejante a otro cuando sus lados son directamente proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales, con el mismo orden.

En la figura ABCD es semejante a A’B’C’D’.

Cómo se dibujan polígonos iguales

Vamos a ver dos métodos de dibujar un polígono igual a otro.

Por triangulación

Se dibujan las diagonales necesarias para dividir el polígono en triángulos. En el caso de un cuadrilátero basta con trazar una diagonal. Se copian ordenadamente los triángulos obtenidos.

Por coordenadas

Se establece un sistema de ejes x e y. Se dibujan las coordenadas de los vértices ABCD respecto de tales ejes. Se repiten los ejes en el lugar donde se quiera dibujar el polígono igual y se llevan los datos de cada coordenada sobre ellos.

Cómo se dibujan polígonos semejantes

Para dibujar un cuadrilátero A’B’C’D’ semejante a ABCD, conociendo un lado A’B’, se superpone el lado conocido al correspondiente en el dato, haciendo coincidir un vértice A=A’. Se dibuja la diagonal AC que será común a ambas figuras. Por B’ se traza la paralela a BC, obteniendo C’. Por C’ se traza la paralela a CD, obteniendo D’.

Cuadrilátero completo

Se llama así al obtenido por todas las intersecciones de sus lados ABCDEF.

Alturas y alturas medias de un cuadrilátero

Se llama altura a la distancia desde un vértice al lado opuesto. Si nos fijamos en la figura vemos que desde D se puede trazar otra altura perpendicular a BC, que también es lado opuesto. Por lo tanto, en los cuadriláteros y polígonos con más lados, este concepto solamente es interesante si se concreta el vértice y el lado a los que se refiere la altura.

Se llama altura media o semi-altura de un cuadrilátero a la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del lado opuesto.

Relaciones entre las diagonales y los lados de los cuadriláteros

Si en un cuadrilátero ABCD trazamos por los extremos de la diagonal BD paralelas a la otra diagonal definimos un paralelogramo DBSR semejante al que se forma uniendo los puntos medios de cada lado, QMPN. Los lados de DBSR miden el doble que los correspondientes de QMPN. El resultado sería igual partiendo de la diagonal AC.

Si en un cuadrilátero ABCD trazamos por un extremo C de la diagonal AC rectas paralelas a los lados que pasan por A, definimos los paralelogramos ACRD y ABSC semejantes a AENQ y a AMPE, respectivamente. AENQ y AMPE son los paralelogramos obtenidos al unir los puntos medios de dos lados con el punto medio de la diagonal AC y el vértice A. Los lados de ACRD y ABSC miden el doble que los correspondientes de AENQ y AMPE.

Si partimos de la diagonal BD del mismo cuadrilátero obtendremos otros paralelogramos con las mismas relaciones de semejanza.

Si en un cuadrilátero ABCD unimos los puntos medios de las diagonales con los puntos medios de dos lados opuestos, como vemos en la figura, obtenemos un paralelogramo FMEN cuyos lados son paralelos al otro par de lados opuestos y miden la mitad que ellos. También se definen: dos cuadriláteros semejantes a ABCD con los lados paralelos o coincidentes a los suyos y que miden la mitad que ello, DQFN y NEPC. dos paralelogramos cuyos lados son paralelos o coincidentes con lados de ABCD midiendo la mitad que ellos, QAMF y MBPE.

Si unimos los puntos medios de las diagonales con los puntos medios del otro par de lados opuestos del mismo cuadrilátero obtendremos otros cuadriláteros con las mismas relaciones de semejanza.

Paralelogramos

Son cuadriláteros convexos con los lados iguales y paralelos dos a dos, tienen los ángulos opuestos iguales y sus diagonales se cortan en el punto medio. Si tienen todos los lados iguales, los paralelogramos son circunscriptibles. Si tienen las diagonales iguales, los paralelogramos son inscriptibles.

Trapecios

Son cuadriláteros convexos con un par de lados paralelos a los que llamamos bases. Sus diagonales nunca se cortan en el punto medio. Solamente son inscriptibles los trapecios isósceles, que son los que tienen los dos lados no paralelos iguales.

Trapezoides

Son cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos.