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Regla de Cramer

De Wikillerato

Gabriel Cramer (1704-1752)
Gabriel Cramer (1704-1752)

Gabriel Cramer nació en Ginebra (Suiza) en 1704 y murió en 1752. A él le debemos la regla que lleva el nombre de este matemático suizo.

Dicha regla, es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz,   
A
  , de coeficientes del sistema, es cuadrada y tiene determinante no nulo. El hecho de que la matriz   
A
  sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones del sistema coinciden.


Cuando el sistema de ecuaciones:


\left.
</p>
<pre> \begin{array}{c}
   a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
   \\
   a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
   \\
   \dotfill
   \\
   a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}


satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:


x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
     \\
     b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
     \\
     a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}, \qquad \qquad \ldots \ldots


\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
     \\
     a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}
\qquad \qquad


En general:



x_i \, = \, \frac{|A_i|}{|A|}


donde   
A_i
  es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-ésima columna de   
A
  por la matriz de los terminos independientes,   
B
 .


Ejemplo


Consideremos el sistema de ecuaciones:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x \, + \, y \, = \, 2
   \\
   x \, - \, y \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz   
A
  de los coeficientes es una matriz cuadrada y   
|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & ~~1
   \\
   1 & -1
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p> . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:



x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cc}
     2 & ~~1
     \\
     0 & -1
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cc}
     1 & 2
     \\
     1 & 0
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1


Enlaces externos

Calculadora online que permite resolver sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer

   
 
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