Distribuciones discretas
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Función de probabilidad
Denotaremos como
a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor
.
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
a la aplicacion que a cada valor de
de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho
valor:
Por definición, deducimos que si
son los valores que puede tomar la variable
, entonces:
ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.
Ejemplo
En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación
que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:
Observa que
Función de distribución
Dada una variable aleatoria discreta
, su función de distribución es la aplicación que a cada valor de
de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o
iguales que
, y la denotamos por:
La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguentes caracteristicas:
1. Al ser una probabilidad,
.
2.
es nula para todo valor de
menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a la unidad para
todo valor de
mayor que el mayor valor de la variable.
3.
es creciente.
4.
es constante en cada intervalo
, además es continua a la derecha de
y a la izquierda
, y discontinua a la izquierda de
y a la derecha de
, para
5. Sea
, entonces
Distribución binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso
, llamado exito, y su contrario,
, llamado fracaso.
2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
3. La probabilidad de
, que denotamos por
, no varía de una prueba a otra.
4. En cada experimento se realizan
pruebas idénticas.
Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.
A la variable
, que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le
llama variable aleatoria binomial.
Existen varias maneras de obtener
exitos en las
pruebas. Supongamos que
y calculemos la probabilidad del suceso
. Existen tres posibilidades de que ocurra
La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.
Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:
Por otra parte,
. Por ejemplo:
donde la primera igualdad es cierta por que los resultados de las tres pruebas son independientes.
Así
En general:
donde
es el número de sucesos elementales que componen el suceso
( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de
fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).
es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.
Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.
es el factorial de
,