Conceptos básicos: espacios vectoriales
De Wikillerato
En el plano, un vector fijo es un segmento orientado de origen y extremo , que tiene las siguientes caracteristicas:
Módulo: longitud del segmento .
Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
Sentido: el que va del origen al extremo.
Los vectores y tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores y son opuestos.
El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si es un vector libre y es un punto del plano, existe un único punto tal que .
Componentes de un vector
Un sistema de referencia esta formado por dos rectas y , llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto , origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.
Para representar un punto del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan dese perpendiculares a los ejes, obteniendo y . Si la distancia de a es , y la de a es , entonces e reciben el nombre de coordenadas del punto . Se escribe , siendo la abcisa e la ordenada.
Conocidas las coordenadas del origen y del extremo de un vector fijo , se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:
Suma de vectores
Sean y dos vectores libres, se define el vector suma como otro vector obtenido de la siguiente forma:
1. Se señala un punto del plano y se traza el vector representante de .
2. Por el extremo se traza el vector
3. El vector que tiene como origen ( origen del primero ) y como extremo ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma .
La suma tiene las siguientes propiedades:
Asosiativa:
El vector nulo es , pues:
El vector opuesto de es , pues:
Conmutativa:
Producto de un número real por un vector
Si es un vector libre y un número real, se define el producto como un nuevo vector que tiene por módulo el producto , por dirección la misma de y sentido el mismo de si es positivo, y opuesto, si es negativo.
El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:
Además, si , se verifica que, o bien o bien .