Funciones acotadas
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Definición
Se dice que un conjunto
de números reales esta acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un
número real
que es
mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de
.
A este n\'umero real se le llama cota superior ( inferior ).
Si
es una cota superior del conjunto
,
entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que
es tambien una cota superior ( inferior ) de
Ejemplo
El intervalo
es un conjunto acotado superiormente porque
Tambien esta acotado inferiormente porque
Definición
Una función
esta acotada superiormente si su recorrido esta acotado superiormente, es decir,
si existe un número
tal que
en el dominio de
Analogamente,
esta acotada inferiormente si su recorrido esta acotado inferiormente, es decir,
si existe un número
tal que
en el dominio de
Una función acotada es aquella que esta acotada superior e inferiormente.
Ejemplo
El recorrido de la función
es el intervalo cerrado
.
Como este intervalo esta acotado, tanto superior como inferiormente,
la función
esta acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función
esta acotada.
Propiedades
Propiedad 1
En la grafica de
, el que
este acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal (
paralela al eje
), tal que ningun punto de la grafica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
Propiedad 2
Una función
con una asintota vertical
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
Mas concretamente:
- Si existe un número real
,
tal que
o
, entonces
no esta acotada superiormente.
- Reciprocamente, si existe un número real
,
tal que
o
, entonces
no esta acotada inferiormente.
Propiedad 3
Si
o
,
entonces
NO esta acotada superiormente.
Si
o
,
entonces
NO esta acotada inferiormente.
Ejemplo
La función
tiene una asintota vertical de ecuación
.
Por lo tanto, la función
no esta acotada.
Para averiguar si esta acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
y
El primero es
y el segundo es
.
Por lo tanto,
no esta acotada ni superior, ni inferiormente.
Ejemplo
Por lo tanto,
no esta acotada superiormente.
Ejemplo
Maximos y minimos
Un conjunto de números reales acotado superiormente
tiene maximo si la menor de las cotas superiores de
pertenece a
. El maximo de
sería, de existir, la menor de las cotas superiores de
.
Ejemplo
El intervalo
esta acotado superiormente, pero no tiene maximo, ya que la mayor de las
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
Ejemplo
El intervalo
esta acotado superiormente y tiene maximo, ya que la mayor de las
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
Maximos y minimos absolutos de una función
Una función
se dice que alcanza el valor maximo en
y que dicho valor maximo es
,
si
en el dominio de
Reciprocamente,
alcanza su valor minimo en
y su valor minimo es
,
si
en el dominio de
Por lo tanto el valor maximo ( minimo ) que alcanza una función es el maximo ( minimo ) de su recorrido.
Si cuando
decimos que el "punto
esta mas alto que el punto
", entonces el maximo absoluto de
corresponderia al punto mas "alto" de su grafíca y el minimo absoluto de
corresponderia al punto mas "bajo" de su grafíca.
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