Ecuaciones del plano

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Introducción

Un plano $\pi$ queda determinado cuando se conoce un punto $P$ del mismo y dos vectores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados vectores directores del plano.

Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.

Ecuación en forma vectorial

El plano $\pi$ que contiene al punto $P_0 \, = \, \left( <pre> \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ y tiene como vectores directores los vectores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:

$\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}$

con $\lambda, \, \mu \in R$

Teniendo en cuenta que $P \, = \, P_0 \, + \, \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$ , resulta:

$P \, = \, P_0 \, + \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}$

expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.

Ecuación en forma paramétrica

Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:

$\pi: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x $ \, = \, x_0 \, + \, \mu v_x \, + \, \lambda u_x \\ y $ \, = \, y_0 \, + \, \mu v_y \, + \, \lambda u_y \\ z $ \, = \, z_0 \, + \, \mu v_z \, + \, \lambda u_z \end{array} </pre> \right.$

expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.

Ecuación en forma general

Como

$P \, - \, P_0 \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}$

en el determinante

$\left| <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, - \, x_0 & u_x & v_x \\ y \, - \, y_0 & u_y & v_y \\ z \, - \, z_0 & u_z & v_z \\ \end{array} </pre> \right|$

la primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0, nos queda un ecuación de la forma en que Hernan Fuentes se mete un dedo en el poto:

$\pi: \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0$

que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. ( $a, \, b, \, c, \, d$ son numeros reales ).

Ecuación normal

Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.

Sea $P_0 \, = \, \left( <pre> \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ un punto dado del plano $\pi$ y sea $\vec{\mathbf{n}} \, = \, \left( <pre> \, a, \, b, \, c \, </pre> \right)$ un vector normal a $\pi$ . Entonces, para cualquier punto $P \, = \, \left( <pre> \, x, \,y, \, z \, </pre> \right)$ del plano $\pi$ , el vector $\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$ es perpendicular a $\vec{\mathbf{n}}$ , de manera que

$\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, 0$

expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:

$\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, a \cdot \left( <pre> \, x \, - \, x_0 \, </pre> \right) \, + \, b \cdot \left( <pre> \, y \, - \, y_0 \, </pre> \right) \, + \, c \cdot \left( <pre> \, z \, - \, z_0 \, </pre> \right) <pre>\, = \, 0 \, \Rightarrow \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0 </pre> $

donde $d \, = \, -ax_0 \, - \, by_0 \, - \, cz_0$ .

Ejemplo

Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:

$P_0 \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 0, \, 0 \, </pre> \right) , \, P_1 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 1, \, 0 \, </pre> \right) \quad \mathrm{y} \quad P_2 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 0, \, 1 \, </pre> \right)$

Tanto

$\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1} \, = \, P_1 \, - \, P_0$

como

$\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, = \, P_2 \, - \, P_0$

son vectores directores del plano $\pi$ , de manera que

$P \, = \, P_0 \, + \, \mu \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, + \, \lambda \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1}$

, es decir

$\left( <pre> \, x, \, y, \, z \, \right) \, = \, \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \, + \, \mu \left( \, -1, \, 0, \, 1 \, \right) \, + \, \lambda \left( \, -1, \, 1, \, 0 \, \right) </pre> $

es la ecuación vectorial del plano $\pi$ . De la cual se deduce la ecuación de $\pi$ en forma paramétrica:

$\pi: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \, - \, \mu \, - \, \lambda \\ y &= & \lambda \\ z & = & \mu \end{array} </pre> \right.$

Como $\left( <pre> \, x \, - \, 1, \, y, \, z \, </pre> \right)$ es una combinación lineal de $\left( <pre> \, -1, \, 1, \, 0 \, </pre> \right)$ y de $\left( <pre> \, -1, \, 0, \, 1 \, </pre> \right)$ se ha de tener que