Conceptos básicos: espacios vectoriales
De Wikillerato
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Revisión de 21:25 22 abr 2008
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Vectores en el plano
En el plano, un vector fijo es un segmento orientado de origen y extremo , que tiene las siguientes caracteristicas:
• Módulo: longitud del segmento .
• Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
• Sentido: el que va del origen al extremo.
Los vectores y tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores y son opuestos.
El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si es un vector libre y es un punto del plano, existe un único punto tal que .
Componentes de un vector
Un sistema de referencia esta formado por dos rectas y , llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto , origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.
Para representar un punto del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan desde perpendiculares a los ejes, obteniendo y
Si la distancia de a es , y la de a es , entonces e reciben el nombre de coordenadas del punto
Se escribe , siendo la abcisa e la ordenada.
Conocidas las coordenadas del origen y del extremo de un vector fijo , se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:
Suma de vectores
Sean y dos vectores libres, se define el vector suma como otro vector obtenido de la siguiente forma:
1.
Se señala un punto
del plano y se traza el vector
representante de
.
2. Por el extremo se traza el vector
3. El vector que tiene como origen ( origen del primero ) y como extremo ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma .
La suma tiene las siguientes propiedades:
• Asociativa:
• El vector nulo es , pues: . Dado un punto cualquiera , el vector es un representante del vector libre .
• El vector opuesto de es , pues:
• Conmutativa:
Producto de un número real por un vector
Si es un vector libre y un número real, se define el producto como un nuevo vector que tiene por módulo el producto , por dirección la misma de y sentido el mismo de si es positivo, y opuesto, si es negativo.
El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:
Además, si , se verifica que, o bien o bien .
Un espacio vectorial es un conjunto ( de vectores ) donde se define una operacion suma y una operacion producto por un numero real y estas operaciones satisfacen las propiedades de la suma y producto por un numero real que hemos visto en el conjunto de los vectores libres del plano.
De hecho, en la definicion de espacio vectorial que acabamos de ver los numeros reales pueden ser sustituidos por otro conjunto, como el conjunto de los numeros complejos, pero a nivel de bachillerato ( wikillerato ) nos centraremos en los numeros reales.
Ejemplo
El conjunto se define como el conjunto de ternas de números reales. En se definen la suma y el producto por un número real así:
1. Suma:
2. Producto por un número real:
El conjunto con estas operaciones es un espacio vectorial.