Elipse
De Wikillerato
Revisión de 23:09 20 dic 2006
Definición
Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.
Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos del plano,
y
, es constante. Veamos los elementos en el siguiente dibujo
Los puntos fijos
y
se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por
ellos.
Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento
. El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.
Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos,
,
,
y
que reciben el nombre de vértices .
La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por
. La mitad de esta distancia,
, es la semidistancia focal.
Para cualquier punto
de la elipse, se verifica que
es constante. Llamamos a esta constante
.
El segmento
es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es
. La mitad de esta distancia,
, se denomina semieje mayor.
El segmento
es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por
. La mitad de esta distancia,
, es el semieje menor.
En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta distancia y esta utilizando una cuerda unida por sus extremos: tensa la cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta. El jardinero dibuja la elipse creando un surco con la vara mientras se asegura que la cuerda siempre forma un triangulo:
Ecuación
Supongamos que el origen delenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal
coincide con el eje
, entonces los focos son:
La condición que ;a suma de la distancias de un punto cuaquiera de la elipse,
a los focos es
se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:
<br/
Igualdad que es equivalente a esta otra:
que constituye la ecuación reducida de la elipse.
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos
,
y al centro, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:
La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:
¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona? Quizas la relación este en que el circulo es lo "normal", mientras que el que no sea normal es excentrico.
Ejemplo