Métodos de integración
De Wikillerato
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Revisión de 16:35 15 nov 2010
Tabla de contenidos |
Introducción
No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cual es el método de integración mas idoneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.
Integración por partes
La fórmula para la derivada de un producto es:
Despejando el último sumando, queda:
Si integramos en los dos miembros, se obtiene:
La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.
Esta fórmula permite calcular la integral a partir de la integral .
Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral que la integral de partida, .
Ejemplo
Calculemos la integral
por partes.
Si hacemos
se tiene que
Utilizando la fórmula que hemos visto antes
se deduce que
Método de sustitución
Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:
Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable
La nueva variable es una función de , con lo cual podemos hablar de la derivada de con respecto de , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:
Despejando en la igualdad anterior, se deduce que
Sustituyendo por y por en
se tiene que
Supongamos que es una primitiva de , entonces
Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva de .
Ejemplo
Calculemos mediante el método de sustitución la integral
Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con
Observese que
En este caso, una primitiva de es
Por lo tanto