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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Definición de matriz)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.200.115.69 (Talk); a la última edición de 186.24.22.1)
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__TOC__
-
==Definición de Matriz==
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==Definición de matriz==
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Una Matriz
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Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión
-
Es un cuadrado o tabla de números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión
+
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
-
B \times C
+
m \times n
</math>
</math>
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
<math>
<math>
-
B
+
m
</math>
</math>
&nbsp; filas y &nbsp;
&nbsp; filas y &nbsp;
<math>
<math>
-
C
+
n
</math>
</math>
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
Línea 27: Línea 26:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{cccc}
\begin{array}[c]{cccc}
-
e_{11 }& e_{12} & \ldots & e_{1C}
+
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
\\
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2C}
+
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
\\
-
a_{B1 }& a_{B2} & \ldots & a_{BC}
+
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
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<br/>
-
La Matriz &nbsp;
+
La matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
G
+
A
</math>
</math>
&nbsp; se puede denotar tambien como &nbsp;
&nbsp; se puede denotar tambien como &nbsp;
<math>
<math>
-
\quad G = \left( e_{ij} \right) \quad
+
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
</math>
</math>
&nbsp; donde
&nbsp; donde
Línea 57: Línea 56:
\left\{
\left\{
\begin{array}[c]{l}
\begin{array}[c]{l}
-
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, B
+
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
\\
\\
-
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, C
+
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
\end{array}
\right.
\right.
Línea 68: Línea 67:
<math>
<math>
-
e_{ij}
+
a_{ij}
</math> designa un elemento generico de la matriz &nbsp;
</math> designa un elemento generico de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
G
+
A
</math>
</math>
, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
Línea 79: Línea 78:
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
<math>
<math>
-
B \times C
+
m \times n
</math>
</math>
&nbsp; se denota por:
&nbsp; se denota por:
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<center>
<center>
<math>
<math>
-
H_{B \times C}
+
M_{m \times n}
</math>
</math>
</center>
</center>
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
<math>
<math>
-
C \times C
+
n \times n
</math>
</math>
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
<math>
<math>
-
C
+
n
</math>
</math>
, &nbsp; se denota por:
, &nbsp; se denota por:
Línea 107: Línea 106:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
H_C
+
M_n
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 113: Línea 112:
<br/>
<br/>
-
Las Matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
+
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
<math>
<math>
-
e_{ii}
+
a_{ii}
</math>
</math>
&nbsp;
&nbsp;
Línea 123: Línea 122:
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
<math>
<math>
-
e_{ij}
+
a_{ij}
</math>
</math>
&nbsp; tales que &nbsp;
&nbsp; tales que &nbsp;
<math>
<math>
-
i + j = C + 1
+
i + j = n + 1
</math>
</math>
Línea 138: Línea 137:
<br/>
<br/>
-
Una '''''Matriz Rectangular'''''
+
Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
-
Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
+
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
-
B \neq C
+
m \neq n
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 149: Línea 147:
-
====Ejemplo de Matriz Fila====
+
====Ejemplo de matriz fila====
<br/>
<br/>
Línea 157: Línea 155:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
-4 & 5 & 2
+
-1 & 3 & 5
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 165: Línea 163:
<br/>
<br/>
-
'''''Matriz Columna'''''
+
'''''Matriz columna''''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
-
Es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
+
<math>
<math>
-
B \times 1
+
m \times 1
</math>
</math>
.
.
-
====Ejemplo de Matriz Columna====
+
====Ejemplo de matriz columna====
<br/>
<br/>
Línea 190: Línea 187:
<br/>
<br/>
-
Una '''''Matriz Nula'''''
+
Una '''''matriz nula''''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
-
Es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
+
por &nbsp;
por &nbsp;
<math>
<math>
Línea 198: Línea 194:
.
.
-
====Ejemplo de Matriz Nula====
+
====Ejemplo de matriz nula====
<br/>
<br/>
Línea 216: Línea 212:
<br/>
<br/>
-
'''''Matriz Triangular Superior'''''
+
'''''Matriz triangular superior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
Es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
-
====Ejemplo de Matriz Triangular Superior====
+
====Ejemplo de matriz triangular superior====
<br/>
<br/>
Línea 240: Línea 235:
<br/>
<br/>
-
'''''Matriz Triangular Inferior'''''
+
'''''Matriz triangular inferior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
Es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
-
====Ejemplo de Matriz Triangular Inferior====
+
====Ejemplo de matriz triangular inferior====
<br/>
<br/>
Línea 252: Línea 246:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
6 & ~~0 & 0
+
2 & ~~0 & 0
\\
\\
3 & -1 & 0
3 & -1 & 0
\\
\\
-
1 & -1 & 4
+
1 & -1 & 3
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 264: Línea 258:
<br/>
<br/>
-
'''''Matriz Diagonal'''''
+
'''''Matriz diagonal''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
Es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
no situados en la diagonal principal son ceros.
no situados en la diagonal principal son ceros.
Línea 276: Línea 269:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
~~6 & ~~0 & ~~0
+
~~2 & ~~0 & ~~0
\\
\\
~~0 & -1 & ~~0
~~0 & -1 & ~~0
\\
\\
-
~~0 & ~~0 & ~~4
+
~~0 & ~~0 & ~~3
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 288: Línea 281:
<br/>
<br/>
-
'''''Matriz Escalar'''''
+
'''''Matriz escalar''''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
-
Es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
+
de la diagonal principal son iguales.
de la diagonal principal son iguales.
Línea 301: Línea 293:
\left(
\left(
\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
4 & {0} & {0}
+
2 & {0} & {0}
\\
\\
-
{0} & 4 & {0}
+
{0} & 2 & {0}
\\
\\
-
{0} & {0} & 4
+
{0} & {0} & 2
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 313: Línea 305:
<br/>
<br/>
-
'''''Matriz Unidad o Identidad'''''
+
'''''Matriz unidad o identidad''''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son
-
Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son
+
todos 1.
todos 1.
-
====Ejemplo de Matriz Unidad====
+
====Ejemplo de matriz unidad====
<br/>
<br/>

Revisión de 08:30 10 may 2010

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
A 
  se puede denotar tambien como   
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



a_{ij}
designa un elemento generico de la matriz   
A
,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.


El conjunto de matrices de dimension   
m \times n
  se denota por:



M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   
n \times n
,   tambien llamadas de orden   
n
,   se denota por:



M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  


a_{ii}
 

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  


a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   
\left(
</p>
<pre> m \neq n
</pre>
<p>\right)
.


Ejemplo de matriz fila



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   
m \times 1
.

Ejemplo de matriz columna



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   
\mathbf{0}
.

Ejemplo de matriz nula



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular superior



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular inferior



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz diagonal



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo de matriz escalar



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz unidad o identidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1.

Ejemplo de matriz unidad



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>

Enlaces externos

  1. Matrices simétricas, J. A. Hervás. Matemáticas y Poesía.
  2. Matrices bisimétricas, J. A. Hervás. Matemáticas y Poesía.
   
 
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