El péndulo simple
De Wikillerato
Línea 41: | Línea 41: | ||
Nos queda <math>L \beta = x</math>, siendo <math>x</math> la proyección del arco sobre la cuerda, sustituyendo en <math>F_c</math> | Nos queda <math>L \beta = x</math>, siendo <math>x</math> la proyección del arco sobre la cuerda, sustituyendo en <math>F_c</math> | ||
+ | <math>F_c = -mg \frac {x}{L}</math> | ||
- | <math> | + | <math>F_c = - \frac {mg}{L} x</math> |
+ | |||
+ | Dado que <math>m</math>, <math>g</math> y <math>L</math>, son constantes, observamos que <math>F_c = -constante.x</math> | ||
+ | |||
+ | Es una fuerza igual a una constante por la separación de la posición de equilibrio y con signo opuesto, que responde a las condiciones del movimiento oscilatorio armónico | ||
+ | |||
+ | Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica | ||
+ | |||
+ | <math>ma = - \frac {mg}{L} x</math> | ||
+ | |||
+ | <math>ma = - \frac {g}{L} x</math> | ||
+ | |||
+ | Sabemos que <math>a = - \omega ^2 x</math>, tendremos que <math> \omega = \sqrt { \frac {g}{L}} </math> | ||
+ | |||
+ | Pero <math> \omega = \frac {2 \pi}{T} </math> | ||
+ | |||
+ | Con lo cual queda, <math> T = 2 \pi \sqrt { \frac {L}{g}}</math> | ||
+ | |||
+ | Como puede observarse, el periodo sólo depende de la longitud <math>L</math> del pédulo y del valor de la gravedad en el punto. | ||
+ | |||
+ | Esto nos permite calcular experimentalmente el valor de <math>g</math> en un lugar cualquiera: | ||
+ | |||
+ | <math> g = \frac {4 \pi^2 L}{T^2}</math> | ||
[[Categoría:Física|Péndulo]] | [[Categoría:Física|Péndulo]] |
Revisión de 14:12 8 oct 2007
Llamamos péndulo simple al formado por un hilo inextensible, de masa despreciable, suspendido por uno de sus extremos de un punto fijo y, que en el otro, lleva suspendida una masa. Al ser desplazado de la posición de equilibrio ángulos muy pequeños, el rozamiento del hilo con el punto de sujeción es despreciable.
¡¡IMAGEN!!
En la figura de la derecha observamos el sistema en equilibrio, el hilo vertical, de longitud , sosteniendo la masa
, de modo que la tensión del hilo es igual al peso.
Tenemos pues que , o lo que es igual
En la figura de la izquierda, hemos desplazado la masa de modo que el hilo ha descrito un pequeño ángulo
con relación a la vertical. Al dejar el sistema en libertad comienza a oscilar alrededor de la posición de equilibrio, manteniéndose sobre un plano.
La masa se ha elevado
con relación a la horizontal, ha adquirido pues una energía potencial
.
Al soltar , describe un arco de circunferencia, de modo que, al caer al punto más bajo de la trayectoria, ha adquirido una energía cinética
Debido a la propia energía cinética m vuelve a alcanzar la altura inicial. El péndulo oscila pues alrededor de la posición de equilibrio.
Hagamos un estudio de las fuerzas aplicadas. En el equilibrio sólo existen la tensión y el peso de m, pero en cualquier otra posición, la suma de la tensión y el peso
debe ser igual a la fuerza responsable del movimiento, tangente al arco de circunferencia descrito.
Observamos que el vector es un vector que recupera la posición de equilibrio.
Pero si estudiamos en la figura el triángulo rectángulo que forman los tres vectores, observamos que
Pero para ángulos muy pequeños
Con lo cual nos queda
Por otra parte, sabemos que para ángulos muy pequeños, ángulo x radio = longitud del arco
y la longitud del arco es aproximadamente igual a la longitud de la cuerda.
Nos queda , siendo
la proyección del arco sobre la cuerda, sustituyendo en
Dado que ,
y
, son constantes, observamos que
Es una fuerza igual a una constante por la separación de la posición de equilibrio y con signo opuesto, que responde a las condiciones del movimiento oscilatorio armónico
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica
Sabemos que , tendremos que
Pero
Con lo cual queda,
Como puede observarse, el periodo sólo depende de la longitud del pédulo y del valor de la gravedad en el punto.
Esto nos permite calcular experimentalmente el valor de en un lugar cualquiera: