Límite de una función
De Wikillerato
Línea 52: | Línea 52: | ||
b | b | ||
</math> | </math> | ||
- | de la recta real | + | de la recta real |
<math> | <math> | ||
- | a, \, b \in \mathbb{R} | + | \left( |
+ | \, a, \, b \in \mathbb{R} \, | ||
+ | \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | + | es | |
<math> | <math> | ||
\left| \, a - b \, \right| | \left| \, a - b \, \right| | ||
Línea 69: | Línea 71: | ||
b | b | ||
</math>. | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Por ejemplo, | ||
+ | <math> | ||
+ | -1 | ||
+ | </math> | ||
+ | esta mas cerca de | ||
+ | <math> | ||
+ | 2 | ||
+ | </math> | ||
+ | que el | ||
+ | <math> | ||
+ | 7 | ||
+ | </math> | ||
+ | ya que | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right| | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real== | ==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real== | ||
Línea 140: | Línea 166: | ||
x_0 | x_0 | ||
</math> | </math> | ||
- | , por la derecha o por la izquierda. | + | , por la derecha o por la izquierda. |
<br/> | <br/> | ||
Línea 160: | Línea 186: | ||
x_0 \in\mathbb{R} | x_0 \in\mathbb{R} | ||
</math> | </math> | ||
- | existe y es igual a | + | por la '''''izquierda''''' existe y es igual a |
<math> | <math> | ||
\infty | \infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
</math> | </math> | ||
tan grande como queramos, eligiendo | tan grande como queramos, eligiendo | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | lo suficientemente cercano a | ||
+ | <math> | ||
+ | x_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | por la izquierda | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( \, x_0 > x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Es decir | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | ||
+ | \left( | ||
+ | \, \mathrm{f} \left( \, x \, | ||
+ | \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Lo expresamos de la siguiente manera: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Analogamente, el límite de la función | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
+ | </math> | ||
+ | , cuando | ||
<math> | <math> | ||
x | x | ||
+ | </math> | ||
+ | tiende a | ||
+ | <math> | ||
+ | x_0 \in\mathbb{R} | ||
+ | </math> | ||
+ | por la '''''derecha''''' existe y es igual a | ||
+ | <math> | ||
+ | \infty | ||
+ | </math> | ||
+ | si podemos hacer | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | tan grande como queramos, eligiendo | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
</math> | </math> | ||
lo suficientemente cercano a | lo suficientemente cercano a | ||
<math> | <math> | ||
x_0 | x_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | por la derecha | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( \, x > x_0 \, \right) | ||
</math>. | </math>. | ||
Línea 185: | Línea 274: | ||
\left( | \left( | ||
\, \mathrm{f} \left( \, x \, | \, \mathrm{f} \left( \, x \, | ||
- | \right) > y, | + | \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) |
- | + | ||
- | \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) | + | |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Línea 198: | Línea 285: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty | + | \lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 211: | Línea 298: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \lim_{x \to 0} \frac{1}{x | + | \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 219: | Línea 306: | ||
y \in \mathbb{R} | y \in \mathbb{R} | ||
</math> | </math> | ||
- | cualquiera e intentamos encontrar un | + | cualquiera e intentamos encontrar un |
- | + | ||
<math> | <math> | ||
\delta > 0 | \delta > 0 | ||
</math> | </math> | ||
- | + | de manera que | |
- | de manera que | + | |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | x \in | + | x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 236: | Línea 321: | ||
y | y | ||
</math> | </math> | ||
- | no es positivo, entonces cualquier | + | no es positivo, entonces cualquier |
<math> | <math> | ||
\delta > 0 | \delta > 0 | ||
</math> | </math> | ||
- | verifica | + | verifica |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | x \in | + | x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y |
- | \Rightarrow \frac{1}{x | + | |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 255: | Línea 339: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \frac{1}{x | + | \frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0 |
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 263: | Línea 346: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \delta = \frac{1} | + | \delta = \frac{1}{y} |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 269: | Línea 352: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | x \in | + | x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 291: | Línea 374: | ||
x_0 \in\mathbb{R} | x_0 \in\mathbb{R} | ||
</math> | </math> | ||
- | existe y es igual a | + | por la '''''izquierda''''' existe y es igual a |
<math> | <math> | ||
-\infty | -\infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
</math> | </math> | ||
tan pequeño como queramos, eligiendo | tan pequeño como queramos, eligiendo | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | lo suficientemente cercano a | ||
+ | <math> | ||
+ | x_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | por la izquierda | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( \, x_0 > x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Es decir | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | ||
+ | \left( | ||
+ | \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) | ||
+ | \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Lo expresamos de la siguiente manera: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Analogamente, el límite de la función | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
+ | </math> | ||
+ | , cuando | ||
<math> | <math> | ||
x | x | ||
+ | </math> | ||
+ | tiende a | ||
+ | <math> | ||
+ | x_0 \in\mathbb{R} | ||
+ | </math> | ||
+ | por la '''''derecha''''' existe y es igual a | ||
+ | <math> | ||
+ | -\infty | ||
+ | </math> | ||
+ | si podemos hacer | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | tan pequeño como queramos, eligiendo | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
</math> | </math> | ||
lo suficientemente cercano a | lo suficientemente cercano a | ||
<math> | <math> | ||
x_0 | x_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | por la derecha | ||
+ | <math> | ||
+ | \left( | ||
+ | \, x > x_0 \, | ||
+ | \right) | ||
</math>. | </math>. | ||
Línea 315: | Línea 462: | ||
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | \forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / | ||
\left( | \left( | ||
- | \, | + | \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) |
- | \right), \, \quad \forall x \in | + | |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
Línea 327: | Línea 473: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty | + | \lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Cuando alguno de los limites laterales de | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
+ | </math> | ||
+ | cuando | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | tiende a | ||
+ | <math> | ||
+ | x_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | es infinito o menos infinito, la grafica de | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} | ||
+ | </math> | ||
+ | tiene una [[Asintotas#Asintotas verticales|asintota vertical]] de ecuación | ||
+ | <math> | ||
+ | x = x_0 | ||
+ | </math>. | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 435: | Línea 604: | ||
\infty | \infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
Línea 490: | Línea 659: | ||
-\infty | -\infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
Línea 626: | Línea 795: | ||
\infty | \infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) | ||
Línea 681: | Línea 850: | ||
-\infty | -\infty | ||
</math> | </math> | ||
- | + | si podemos hacer | |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) |
Revisión de 21:08 18 ago 2010
Tabla de contenidos |
Nota sobre terminología
Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:
es mas pequeño ( grande ) que si y solo si .
Es decir, es mas pequeño ( grande ) que si es menor ( mayor ) que .
La distancia entre dos puntos y de la recta real es . Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos y .
Por ejemplo, esta mas cerca de que el ya que
Limite de f(x) cuando x tiende a un número real
Limite finito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a , si ambos límites laterales existen y son iguales a , es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente proximo a , por la derecha o por la izquierda.
Limite infinito
El límite de la función , cuando tiende a por la izquierda existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la izquierda .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Analogamente, el límite de la función , cuando tiende a por la derecha existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la derecha .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Ejemplo
Demostremos que
Para ello seleccionamos un cualquiera e intentamos encontrar un de manera que
Si no es positivo, entonces cualquier verifica
Si es positivo, entonces
Por lo tanto, si elegimos
se verifica que
Limite menos infinito
El límite de la función , cuando tiende a por la izquierda existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la izquierda .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Analogamente, el límite de la función , cuando tiende a por la derecha existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente cercano a por la derecha .
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Cuando alguno de los limites laterales de cuando tiende a es infinito o menos infinito, la grafica de tiene una asintota vertical de ecuación .
Limite de f(x) cuando x tiende a infinito
Limite finito
Se dice que el límite de la funcion , cuando tiende a , es si cualquier sucesión que tiende a verifica que .
Lo expresamos como:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente grande.
Es decir
Limite infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente grande.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite menos infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito
Limite finito
Se dice que el límite de la funcion , cuando tiende a , es si cualquier sucesión que tiende a verifica que .
Lo expresamos como:
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Limite infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan grande como queramos, eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera:
Limite menos infinito
El límite de la función , cuando tiende a existe y es igual a si podemos hacer tan pequeño como queramos, eligiendo lo suficientemente pequeño.
Es decir
Lo expresamos de la siguiente manera: