Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Límite de una función

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 52: Línea 52:
b
b
</math>
</math>
-
de la recta real (
+
de la recta real
<math>
<math>
-
a, \, b \in \mathbb{R}
+
\left(
 +
\, a, \, b \in \mathbb{R} \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
) es &nbsp;
+
es &nbsp;
<math>
<math>
\left| \, a - b \, \right|
\left| \, a - b \, \right|
Línea 69: Línea 71:
b
b
</math>.
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Por ejemplo,
 +
<math>
 +
-1
 +
</math>
 +
esta mas cerca de
 +
<math>
 +
2
 +
</math>
 +
que el
 +
<math>
 +
7
 +
</math>
 +
ya que
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
Línea 140: Línea 166:
x_0
x_0
</math>
</math>
-
, por la derecha o por la izquierda.
+
, &nbsp; por la derecha o por la izquierda.
<br/>
<br/>
Línea 160: Línea 186:
x_0 \in\mathbb{R}
x_0 \in\mathbb{R}
</math>
</math>
-
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
+
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
<math>
<math>
\infty
\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente cercano a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la izquierda &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, x_0 > x \, \right)
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Analogamente, el límite de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
, cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
</math>
</math>
lo suficientemente cercano a &nbsp;
lo suficientemente cercano a &nbsp;
<math>
<math>
x_0
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la derecha &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, x > x_0 \, \right)
</math>.
</math>.
Línea 185: Línea 274:
\left(
\left(
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
-
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
+
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
-
\cup
+
-
\left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
+
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 198: Línea 285:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
+
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 211: Línea 298:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty
+
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 219: Línea 306:
y \in \mathbb{R}
y \in \mathbb{R}
</math>
</math>
-
&nbsp; cualquiera e intentamos encontrar un
+
&nbsp; cualquiera e intentamos encontrar un &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
\delta > 0
\delta > 0
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; de manera que
-
de manera que
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 236: Línea 321:
y
y
</math>
</math>
-
no es positivo, entonces cualquier
+
no es positivo, entonces cualquier &nbsp;
<math>
<math>
\delta > 0
\delta > 0
</math>
</math>
-
verifica
+
&nbsp; verifica
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right)
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
-
\Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 255: Línea 339:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{1}{x^2} > y \Leftrightarrow \frac{1}{\left| x \right|} > \sqrt{y} \Leftrightarrow
+
\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0
-
\frac{1}{\sqrt{y}} > x > -\frac{1}{\sqrt{y}}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 263: Línea 346:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\delta = \frac{1}{\sqrt{y}}
+
\delta = \frac{1}{y}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 269: Línea 352:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
+
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 291: Línea 374:
x_0 \in\mathbb{R}
x_0 \in\mathbb{R}
</math>
</math>
-
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
+
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
<math>
<math>
-\infty
-\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente cercano a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la izquierda
 +
<math>
 +
\left( \, x_0 > x \, \right)
 +
</math>
 +
.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Analogamente, el límite de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
, cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
</math>
</math>
lo suficientemente cercano a &nbsp;
lo suficientemente cercano a &nbsp;
<math>
<math>
x_0
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la derecha &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, x > x_0 \,
 +
\right)
</math>.
</math>.
Línea 315: Línea 462:
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
\left(
\left(
-
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
-
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \cup \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
+
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 327: Línea 473:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
+
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Cuando alguno de los limites laterales de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; es infinito o menos infinito, la grafica de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas verticales|asintota vertical]] de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
x = x_0
 +
</math>.
<br/>
<br/>
Línea 435: Línea 604:
\infty
\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 490: Línea 659:
-\infty
-\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 626: Línea 795:
\infty
\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 681: Línea 850:
-\infty
-\infty
</math>
</math>
-
, si podemos hacer &nbsp;
+
si podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)

Revisión de 21:08 18 ago 2010

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:



a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si y solo si   
b > a \left( \, a > b \, \right)
.


Es decir, 
a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si 
a
es menor ( mayor ) que 
b
.


La distancia entre dos puntos 
a
y 
b
de la recta real 
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \,
</pre>
<p>\right)
es   
\left| \, a - b \, \right|
.   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos 
a
y 
b
.


Por ejemplo, 
-1
esta mas cerca de 
2
que el 
7
ya que


\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
L \in \mathbb{R}
, si ambos límites laterales existen y son iguales a   
L 
, es decir



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L 
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
,   por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la izquierda existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la izquierda   
\left( \, x_0 > x \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y,  \, \quad \forall x \in  \left( \, x_0 - \delta, \,  x_0 \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^-} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, \infty


Analogamente, el límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la derecha existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la derecha   
\left( \, x > x_0 \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^+} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que


\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty

Para ello seleccionamos un   
y \in \mathbb{R}
  cualquiera e intentamos encontrar un   
\delta > 0
  de manera que


x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si 
y
no es positivo, entonces cualquier   
\delta > 0
  verifica


x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si 
y
es positivo, entonces


\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0

Por lo tanto, si elegimos


\delta = \frac{1}{y}

se verifica que


x \in  \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la izquierda existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la izquierda 
\left( \, x_0 > x \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
</pre>
<p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^-} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, -\infty


Analogamente, el límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la derecha existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la derecha   
\left(
</p>
<pre> \, x > x_0 \,
</pre>
<p>\right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
</pre>
<p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^+} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, -\infty


Cuando alguno de los limites laterales de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0
  es infinito o menos infinito, la grafica de 
\mathrm{f}
tiene una asintota vertical de ecuación   
x = x_0
.


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty
, es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente grande.


Es decir


\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente grande.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty
, es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
-\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.