Funciones acotadas
De Wikillerato
Línea 170: | Línea 170: | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | con una | + | con una asíntota vertical |
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente. | no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente. | ||
Línea 261: | Línea 261: | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | tiene una | + | tiene una asíntota vertical de ecuación |
<math> | <math> | ||
x = 0 | x = 0 | ||
Línea 324: | Línea 324: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | == | + | ==Máximos y mínimos== |
<br/> | <br/> | ||
Línea 332: | Línea 332: | ||
A | A | ||
</math> | </math> | ||
- | tiene | + | tiene máximo si la menor de las cotas superiores de |
<math> | <math> | ||
A | A | ||
Línea 339: | Línea 339: | ||
<math> | <math> | ||
A | A | ||
- | </math>. El | + | </math>. El máximo de |
<math> | <math> | ||
A | A | ||
Línea 358: | Línea 358: | ||
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right) | \left( \, -\infty, \, 2 \, \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | está acotado superiormente, pero no tiene | + | está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las |
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo. | cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo. | ||
Línea 371: | Línea 371: | ||
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right] | \left( \, -\infty, \, 2 \, \right] | ||
</math> | </math> | ||
- | está acotado superiormente y tiene | + | está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las |
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo. | cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo. | ||
<br/> | <br/> | ||
- | == | + | ==Máximos y mínimos absolutos de una función== |
<br/> | <br/> | ||
Línea 384: | Línea 384: | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | se dice que alcanza el valor | + | se dice que alcanza el valor máximo en |
<math> | <math> | ||
x_M | x_M | ||
</math> | </math> | ||
- | y que dicho valor | + | y que dicho valor máximo es |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) | ||
Línea 408: | Línea 408: | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | alcanza su valor | + | alcanza su valor mínimo en |
<math> | <math> | ||
x_m | x_m | ||
</math> | </math> | ||
- | y su valor | + | y su valor mínimo es |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right) | \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right) | ||
Línea 428: | Línea 428: | ||
</center> | </center> | ||
- | Por lo tanto el valor | + | Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo ( |
- | + | mínimo ) de su recorrido. | |
<br/> | <br/> | ||
Línea 447: | Línea 447: | ||
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right) | \left( \, x_1, \, y_1 \, \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | ", entonces el | + | ", entonces el máximo absoluto de |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
- | correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el | + | correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de |
<math> | <math> | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} |
Revisión de 09:59 1 ago 2010
Tabla de contenidos |
Definición
Se dice que un conjunto de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de .
A este número real se le llama cota superior ( inferior ). Si es una cota superior del conjunto , entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que es tambien una cota superior ( inferior ) de
Ejemplo
El intervalo
es un conjunto acotado superiormente porque
Tambien está acotado inferiormente porque
Definición
Una función está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir, si existe un número tal que
en el dominio de
Análogamente, está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir, si existe un número tal que
en el dominio de
Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.
Ejemplo
El recorrido de la función es el intervalo cerrado . Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente, la función está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función está acotada.
Propiedades
Propiedad 1
En la gráfica de , el que esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje ), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
Propiedad 2
Una función con una asíntota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
Mas concretamente:
- Si existe un número real
, tal que o , entonces no está acotada superiormente.
- Reciprocamente, si existe un número real
, tal que o , entonces no está acotada inferiormente.
Propiedad 3
Si o , entonces NO está acotada superiormente.
Si o , entonces NO está acotada inferiormente.
Ejemplo
La función
tiene una asíntota vertical de ecuación . Por lo tanto, la función no está acotada.
Para averiguar si está acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
y
El primero es y el segundo es . Por lo tanto, no está acotada ni superior, ni inferiormente.
Ejemplo
Por lo tanto, no está acotada superiormente.
Ejemplo
Máximos y mínimos
Un conjunto de números reales acotado superiormente tiene máximo si la menor de las cotas superiores de pertenece a . El máximo de sería, de existir, la menor de las cotas superiores de .
Ejemplo
El intervalo está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
Ejemplo
El intervalo está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
Máximos y mínimos absolutos de una función
Una función se dice que alcanza el valor máximo en y que dicho valor máximo es , si
en el dominio de
Reciprocamente, alcanza su valor mínimo en y su valor mínimo es , si
en el dominio de
Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo ( mínimo ) de su recorrido.
Si cuando
decimos que el "punto está mas alto que el punto ", entonces el máximo absoluto de correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.
Tweet